Théâtre et Chaos fractal / "Arcadia" de Tom Stoppard (1993) Partie II - Arts / Numérisation / Fractals

Arts / Numérisation / Fractals

Arts / Numérisation / Fractals

Théâtre et Chaos fractal / "Arcadia" de Tom Stoppard (1993) Partie II

 

 

 

→ Suite de la Partie I

 

 

 

2. Géométrie fractale et chaos déterministe dans Arcadia 

 

Arcadia, Acte I, scène 3, Thomasina – Septimus, p. 48-49 ; Acte I, scène 4, Valentin – Anna, p. 53-58, 62 ; Acte II, scène 7, Valentin – Anna, p. 87, Thomasina – Lady Gray – Septimus, p. 95 (et ensemble de la pièce).

 

2.1 – Formes fractales et facteur d’échelle

 

À l'origine de la géométrie fractale se situe l'étude mathématique des formes infiniment irrégulières dans leurs moindres détails, brisées, rompues et morcelées en chacune de leurs parcelles, dont la morphologie est par conséquent discontinue (le qualificatif latin « fractus » résume ces acceptions qui convergent vers l'idée de moudre, de broyer et de fracturer). Le néologisme « fractal » créé par le mathématicien Benoît Mandelbrot dans la première édition française de son livre célèbre : Les Objets fractals – Forme, hasard et dimension (1è éd. 1975, 4è éd. révisée 1995, Paris, Flammarion), incluait aussi l'abandon du concept mathématique traditionnel de symétrie spatiale, liée à la géométrie euclidienne, au profit d'un autre type « d'ordre » mathématique, régissant les éléments d'une configuration spatiale irrégulière en toutes ses composantes. Ce nouvel « ordre fractal » était défini en termes strictement mathématiques comme un indice algébrique d'irrégularité morphologique : la dimension fractale, qui est un nombre-indice absolu, ne désignant pas une mesure de grandeur, mais une mesure évaluative de la complexité formelle des configurations géométriques (en deux ou trois dimensions spatiales).

 

Ce sont les échelles d'examen de l'objet, naturel ou géométrique, qui définissent les degrés variables de discontinuité de la forme. Le thème, bien connu en physique théorique, de l'interrelation significative de l'observateur avec l'objet d'observation, s'affirme en ce domaine mathématique comme le motif primordial de la détermination de la dimension fractale. Les objets de la nature, observés à grande distance, peuvent apparaître globalement comme des formes simples, régulières, descriptibles au moyen des catégories de la traditionnelle géométrie euclidienne : des cercles, des triangles, des parallélépipèdes, des sphères, des cônes, des cylindres, des polyèdres, et toute combinaison de ces formes élémentaires primitives. Pourtant, observées de plus près, à la « loupe mathématique » aussi bien qu’avec des instruments grossissant, ces formes naturelles deviennent plus compliquées, moins linéaires, moins « euclidiennes » ; elles présentent des contours brisés et des structures surfaciques ramifiées, enchevêtrées. Si le niveau d'observation, toujours plus exigeant, continue de s'affiner par l'intermédiaire du microscope (optique ou électronique), le moindre détail apparaît alors comme une myriade de détails plus fins et toujours plus riches de microformes, elles-mêmes saturées à l'infini de microformes gigognes hyperdétaillées, aux apparences plus ou moins nouvelles, éventuellement seulement à un micro-détail près... 

 

Le corollaire de l'affinement de l'échelle d'observation réside dans le fait qu'aucune symétrie euclidienne connue n'est détectable en chaque fragment étudié. Les multiples niveaux scalaires de la description, virtuellement infinis, ne semblent plus pouvoir être mis en corrélation hiérarchique continue, de même que les lois de la symétrie qui caractérisent généralement un objet dans sa totalité ne semblent plus pouvoir se révéler à travers les parcellisations de l'ensemble primitif. Tout fragment se manifeste comme une nouvelle (et pseudo) « totalité » intermédiaire et transitionnelle, étrangère morphographiquement en apparence à l'ensemble dont est extrait le détail. La loi d'unité morphologique entre le tout et ses parties devient caduque, par l'application en cascade systématique du jeu des variations d'échelles d'examen.

 

Les exemples puisés dans la nature sont omniprésents, et la physique découvre qu'ils sont en extension continuelle. La structure fluente des nuages en mouvement, la forme des montagnes, la configuration d'un ciel étoilé, l'univers infini des galaxies, tout comme une simple feuille de châtaignier, un morceau de rocher, un fragment de métal ou une cellule biologique, humaine, animale ou végétale, sont affectés d'innombrables zones d'irrégularité en fonction des niveaux d'observation auxquels on les soumet. Il existe évidemment des taux d'irrégularité plus différenciés, plus tranchés que d'autres, selon l'échelle d'examen adoptée, mais aucune reproduction structurale à l'identique, douée de symétrie absolue, n'existe à l'état naturel. Le mérite de la géométrie fractale est précisément d'avoir permis de caractériser ces degrés ou niveaux d'irrégularité relative qui signent l'hétérogénéité morphostructurale de la matière et de l'Univers entier (y compris, au premier rang, de l’être humain et tous les êtres vivants).

 

Au début du siècle, l’étude du mouvement brownien fut à l'origine de la compréhension fractaliste de la nature par le physicien français Jean Perrin (1870-1942), prix Nobel de physique en 1926, dans son livre fondamental  Les Atomes (1913). Jean Perrin fit remarquer l'importance majeure que revêt l'échelle d'observation des phénomènes naturels pour la mise en évidence de la structure infiniment irrégulière de la matière. La  croyance en la continuité au sein de la nature n'est qu'illusoire, car elle relève de l'image intuitive naïve que l'on se fait d'une courbe continue, au contact de laquelle on peut tracer une tangente en n'importe quel point de son contour géométrique.

 

Outre que l'univers des fonctions mathématiques, continues ou discontinues, est surpeuplé de courbes sans tangente et donc sans dérivée, à tel point que les fonctions continues dérivables sont plutôt l'exception dans cet univers foisonnant d'irrégularité générale, le monde physique n'est, en tous ses détails, qu'irrégularité, fracture, brisure, en n'importe quel sens de l'espace tridimensionnel. Dans la nature et l'Univers entier, toute chose est modélisable scientifiquement par des structures granulaires hiérarchiquement enchevêtrées, infiniment discontinues, dont la représentation mathématique dépend entièrement des échelles d'observation. De l'infiniment petit à l'infiniment grand, la discontinuité s'affirme comme la loi structurale universelle de l'organisation de l'Univers, les fonctions continues dérivables n'étant très souvent que des commodités symboliques, destinées à rendre plus facilement appréhensible cet Univers rebelle à la continuité homogène, laquelle est uniquement propre à l'ordre théorique instauré par la géométrie euclidienne.

 

Aussi Jean Perrin proposa-t-il déjà une vision scientifique futuriste, éminemment fractaliste de l'Univers entier, dans la Préface de son ouvrage de 1913 : « Une matière indéfiniment discontinue, trouant par des étoiles minuscules un éther continu, voilà donc l'idée qu'on pourrait se faire de l'Univers (...) nous pourrions le dire en songeant à une sphère sans cesse élargie, englobant successivement planète, système solaire, étoiles, nébuleuses. » (Jean Perrin, Les Atomes, 1913, Paris, Gallimard, 1970, p. 21-22).

 

Les modèles mathématiques de description fractaliste de la distribution des galaxies dans l'Univers par Benoît Mandelbrot, dans son livre Les Objets fractals – Forme, hasard et dimension, procèdent de la même extrapolation cosmologique guidée par des considérations déterminantes, relatives à l'échelle d'examen des phénomènes astronomiques. La distribution des galaxies dans l'Univers est inhomogène, leurs densités s'échelonnant selon des dimensions statistiques comprises entre D = 0 et D = 3, en fonction de l'expansion théorique du diamètre sphérique tendant potentiellement vers l’infini, dans le champ duquel elles sont étudiées. Ainsi, Benoît Mandelbrot a simulé sur ordinateur des modèles aléatoires d'univers lacunaires, faits d'amas galaxiques, de distributions stellaires de densité variable et de vides, dont l'estimation dimensionnelle, de nature statistique, est intermédiaire entre D = 1 et D = 1,5 lorsqu'ils sont représentés imaginairement à partir de points de vue différents, tels que la Terre et la constellation australe du Centaure par exemple, donc selon des échelles de modélisation différentes.

 

2.2 – Modélisation cartographique de la fractalité

 

Un exemple a priori fort simple, exposé par Benoît Mandelbrot comme un modèle typique de raisonnement fractaliste dès 1967, est celui relatif à la mesure cartographique d'un littoral. La côte d'une région comme la Bretagne est dessinable grossièrement par tout écolier qui connaît approximativement la géographie de la France. Mais les exigences scientifiques de la cartographie vont bien au-delà de ce simple tracé approximatif à main levée. La quantité et la précision des détails côtiers sont fonction de l'échelle numérique de représentation adoptée par le cartographe. [Cf. aussi l'article → Fractals et Cartographie]

 

Imaginons que l'on se propose de mesurer la longueur de la côte entre deux points géographiques donnés, au moyen d'un compas (fictif) d'écartement variable. Plus l'écartement sera important, plus la longueur obtenue sera de médiocre précision, et la carte qui correspondra à cette mesure sera très schématique, déformante. Inversement, de très petits écartements produiront une mesure plus véridique, correspondant à une carte elle aussi nettement plus élaborée dans ses détails. Mais la longueur obtenue tendra vers un nombre infini, car il s'agira de prendre en compte les moindres anfractuosités du rivage, des rochers en particulier. L'aspect infiniment sinueux et granuleux de la moindre parcelle microscopique de matière pourrait, en théorie, être apprécié par des instruments d'observation métrologique ultraprécis, détectant des longueurs de l'ordre d'une fraction d'Angström par exemple (un Angström vaut en physique un dix-millionième de millimètre), et la longueur du littoral s'accroîtrait indéfiniment : elle « tendrait vers l’infini », selon la formule consacrée en mathématique. Mais la carte matérielle ne pourrait plus réellement prendre en compte cette extrême profusion de détails. D'ailleurs, les conventions cartographiques habituelles limitent la représentabilité du territoire bien avant d'atteindre cette luxuriance morphographique fictive à l'échelle de l'Angström !

 

Cet exemple cartographique conduisant jusqu'aux confins de la pure imagination est révélateur de l'importance primordiale de l'échelle d'observation des phénomènes. Il fait comprendre en premier lieu la spécificité de la notion d'objet fractal : un objet fractal est par essence un objet mathématique déterminé avec précision, même si au départ la réflexion porte sur des objets concrets, car la dimension abstraite (fractionnaire ou irrationnelle) qui le caractérise est le résultat d'un raisonnement algébrique qui prend en compte l'itération ad infinitum d'un calcul de grandeurs géométriques en rapport direct avec une succession d'échelles métrologiques de plus en plus grandes.

 

En second lieu, on peut dire que les conventions sous-tendant les représentations cartographiques constituent un système formel universel, susceptible de décrire non seulement la réalité géographique visible, à une échelle adaptable aux formats de la représentation globale sur le papier, mais aussi à toute échelle théorique fixée arbitrairement, aussi grande soit-elle. En effet, ce paradoxe apparent est levé en majeure partie si l'on passe de cartes globales (territoire entier, mappemonde) à des plans détaillés (ville, quartier), puis de ceux-ci à des relevés topographiques et photogrammétriques très localisés, puis de ces derniers, pourquoi pas en théorie, à des analyses de détails géographiques de plus en plus infimes concernant la nature et tous les matériaux rencontrés. L'échelle et les modes de représentation, certes, devront changer à chaque étape jusqu'à la représentation microscopique du réel, mais en théorie le principe de réduction scalaire peut s'appliquer en cascade indéfiniment.  

 

Une mappemonde, par exemple, est la représentation cartographique dépendant d’un système de projection géométrique particulier du globe terrestre sur une surface plane. Selon les systèmes de projection choisis, tel ou tel aspect de la surface terrestre ressort avec un relief spécial, est valorisé à l’extrême, tandis que tel autre aspect demeure presque inaperçu ou comprimé. De plus, le système de projection géométrique est lui-même directement lié à l’échelle de représentation des objets naturels, de telle sorte qu’à grande échelle les fins détails sont aisément révélés, tandis qu’à petite échelle ils demeurent invisibles à l’œil. En effet, les conventions graphiques et mathématiques qui sous-tendent les représentations cartographiques constituent un système formel universel susceptible non seulement de décrire la réalité géographique selon une échelle adaptable aux formats de la représentation globale à petite échelle, mais également selon toute échelle de réduction imaginable. Les échelles cartographiques autorisent le passage en continu des ensembles les plus vastes (le monde entier) jusqu’au plan détaillé d’une ville, d’un quartier, d’une rue, voire (hypothétiquement bien sûr) d’une maison ou d’un appartement de celle-ci. La loi d’échelle projective rend opérationnel ce passage systématique du plus vaste ensemble d’éléments au champ spatial le plus restreint.

 

En théorie, le principe de réduction ou d’agrandissement scalaire peut s’appliquer en cascade ad libitum, de l’infiniment grand à l’infiniment petit, par le jeu opératoire des échelles mésoscopiques successives. Des réalités insoupçonnées à une échelle donnée de représentation se révèlent à une autre échelle, mieux adaptée au niveau de réalité dont on veut donner une image. Or, toutes les représentations cartographiques demeurent indéfiniment approchées (au sens où l’on parle de calcul arithmétique approché), puisqu’elles sont formellement liées à l’adoption concomitante d’un système particulier de projection topographique, d'une part, et d’une échelle de représentation spécifiquement adaptée à ce dernier, d'autre part. Ce qu’enseignent ces méthodes variées de représentation cartographique, c’est avant tout la nature intrinsèquement mésoscopique et transitionnelle de toute image du réel, manifestant l’interrelation de l’observateur, de son objet d’observation et du système cartographique de représentation dont il se dote.

 

La projection cartographique enseigne, en particulier, que sur une carte géographique définie géométriquement par un système de projection à une échelle donnée, on ne peut pas « tout » observer, mais aussi que potentiellement les conventions formelles du système projectif, appliquées à d’autres échelles d’agrandissement, sont susceptibles de mettre en évidence des réalités géographiques antérieurement insoupçonnées.

 

Les conventions graphiques de la représentation d'un pays au millionième ne sont pas celles relatives à la représentation d'un plan de ville ou de quartier au dix-millième, et les méthodes photomicrographiques appliquées à un fragment de cellule humaine ou végétale, qui multiplient la taille réelle de l'objet invisible à l'œil nu par un coefficient d'agrandissement de l'ordre de 50 000 à 250 000 ou plus, apportent leurs règles technologiques spécifiques de représentation. Ce qu'enseignent ces méthodes variées de représentation, c'est la nature intrinsèquement mésoscopique de toute image du réel : le microscopique, quel que soit son niveau d'appréhension, n'est toujours qu'un intermédiaire mésoscopique entre des mondes infiniment plus petits que lui et des mondes infiniment plus grands. Il en est de même pour le macroscopique dont les dimensions appréhensibles sont infiniment grandes pour les niveaux très inférieurs à lui, mais qui se réduit à un niveau microscopique en référence à des niveaux scalaires très supérieurs au sein de l'immensité de l'Univers. [Cf. aussi l'article → Fractals et Cartographie.]

 

2.3 – Chaos déterministe et dimension fractale

 

La définition algébrique de la dimension fractale se rattache très précisément aux deux concepts cartographiques que nous venons d'évoquer : l'échelle numérique de représentation et le degré d'irrégularité ou de discontinuité morphologique de l'objet. On conçoit intuitivement qu'une forme simple comme une ligne droite de longueur donnée, est beaucoup moins complexe morphologiquement qu'une ligne brisée dont la distance entre les extrémités est identique, et qu'il existe des degrés infinis dans cette complexité, au fur et à mesure que le nombre des fractures en zigzags augmente entre le début et la fin de cette ligne. La ligne brisée peut même tendre indéfiniment vers une longueur illimitée, puisque chaque microsegment, aussi minuscule soit-il, est susceptible d'être rompu dans toutes les directions de l'espace plan en une infinité d'autres microsegments tous infiniment plus petits, lesquels, à leur tour, peuvent être idéalement brisés en une infinité de microsegments, et ainsi de suite.

 

Or, cette fiction géométrique de la ligne infiniment rompue n'est jamais qu'un modèle de raisonnement fractaliste reposant sur l'échelle d'observation des phénomènes naturels ou géométriques. Selon l'échelle de référence, tout objet peut être considéré comme plus ou moins complexe morphologiquement, la géométrie euclidienne des dimensions entières (le point : dimension nulle ; la ligne : dimension 1 ; la surface fermée : dimension 2 ; le volume : dimension 3) permettant seulement l’évaluation des combinaisons de formes dimensionnellement simples, dont l'échelle d'observation demeure invariablement identique à elle-même, sans prise en compte des variations d’échelle différenciatrices.

 

Plusieurs modélisations géométriques de la dimension fractale sont imaginables. Il convient de distinguer : a) les modèles géométriques linéaires, « réguliers dans leur irrégularité » , construits selon le principe d'homothétie interne ; on dit que ces modèles sont « scalants » car tout fragment extrait de la figure intégrale répète à l'dentique en plus petit la totalité, selon une échelle de réduction donnée (propriété d'autosimilitude) ; b) les modèles géométrico-algébriques non-linéaires, fondés sur la dynamique des fonctions autorécursives comme celles, par exemple, qui permettent de créer les images fractales semi-déterministes très populaires de l'ensemble de Mandelbrot ou des innombrables (infinis) ensembles de Julia, et toute forme d'image en couleurs déterminée par l'application récursive de fonctions non-linéaires.

 

Il s'agit dans ce dernier cas de fractales simulant le chaos déterministe – on dit aussi « semi-déterministe » pour signifier l'imprévisibilité des trajectoires de points –, c'est-à-dire ne possédant pas d'homothétie interne, mais une infinité d'autosimilarités entre leurs parties (propriété mathématique à distinguer nettement de l'autosimilitude entre le tout et la partie, propre aux fractales linéaires) : entre deux zones différentes d'une même image, obtenue par itération autorécursive des valeurs de la fonction, peuvent exister des analogies générales, des ressemblances d'ensemble, mais leurs microdétails morphologiques, explorés à une échelle d'agrandissement pertinente, révèlent des différences morphologiques en quasi tout point de l'image, éventuellement à un iota près.

 

Par conséquent, deux types de dimensions fractales se déduisent de cette distinction entre fractales linéaires et fractales chaotiques semi-déterministes, spécifiques des systèmes dynamiques (chaotiques) : les premières possèdent une dimension fractionnaire unique à toute échelle de construction géométrique, tandis que les secondes détiennent des dimensions variables en fonction des zones topographiques observées, d'une part, et de l'échelle d'examen employée, d'autre part. Comme exemple du premier genre, on peut évoquer la courbe célèbre du « flocon de neige » de Von Koch, la « courbe remplissante » de Peano, ou l’ensemble triadique de Cantor formant à l’infini des « poussières fractales de Cantor » (tous les ouvrages élémentaires de géométrie fractale exposent ces types de figures fractales linéaires). Quant au second genre de fractales (chaotiques), d’innombrables exemples en sont fournis par les simulations mathématiques sur ordinateur, et leurs applications scientifiques sont pléthoriques (météorologie, chimie et physique des fluides, cosmologie, phénomènes aléatoires, etc.).

 

 

→ Suite Partie III

 

 

© Jean-Claude Chirollet



09/05/2012