Nuage fractal, point euclidien, détail pictural (1) - Arts / Numérisation / Fractals

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Nuage fractal, point euclidien, détail pictural (1)

 

 

Du point euclidien au nuage fractal

Matrices génétiques du détail

 

1è partie

 

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Article publié dans la revue KTÈMA (Université de Strasbourg, 2012) :

Jean-Claude Chirollet, Du point euclidien au nuage fractal. Matrices génétiques du détail, Revue KTÈMA (Civilisations de l’Orient, de la Grèce et de Rome antiques), N° 37, in Actes du colloque international : Le détail dans les cultures visuelles (Antiquité-XXIe siècle), UMR 7044 (Archimède), 16-17 mars 2012, Université de Strasbourg (MISHA, Alsace), décembre 2012, p. 409-421.

 

 

Résumé : Le sens du détail en art est fonction, depuis l’Antiquité grecque, de l’espace géométrique qui le sous-tend. À la Renaissance italienne, les artistes pensèrent le détail en fonction de la géométrie d’Euclide. À l’époque contemporaine, la géométrie fractale est devenue un nouveau modèle de conception du détail artistique. La réflexion des artistes sur le point et la ligne géométriques renvoie au problème des matrices génétiques du détail.

 

Abstract : The meaning of detail in art is function, since Greek Antiquity, of the geometrical space which underlies it. With the Italian Rebirth, the artists thought the detail according to the Euclidean geometry. In the contemporary period, fractal geometry became a new model of thought of the artistic detail. The reflection of the artists concerning the geometric point and line refers to the problem of the genetic matrices of the detail.

 

 


 

Dès le début du premier livre des Éléments d’Euclide (Alexandrie, vers 325-265 avant J.-C), traité fondateur de la géométrie classique, on peut lire les deux définitions du point et de la ligne (Livre I, Définitions 1, 2 et 3), auxquelles se référeront divers artistes modernes, tels notamment Paul Klee et Wassily Kandinsky. Bien qu’Euclide ait défini dans les Éléments la notion de partie d’un tout, mais non celle de « détail » au(x) sens moderne(s) du terme, ses définitions du point et de la ligne ont servi de tremplin spéculatif aux artistes soucieux de penser de manière radicale, c’est-à-dire « élémentariste » ─ au sens des éléments premiers, archétypaux, de la forme en gestation ─, les origines logiques des détails premiers de l’œuvre d’art.

 

1. Le concept de point euclidien

 

La notion de « point » au sens mathématique est formulée pour la première fois de manière abstraite dans les Éléments de géométrie d’Euclide. Avant les Éléments d’Euclide, on peut lire chez Aristote (384-322 av. J.-C.), notamment dans son traité De l’âme (III, 2, 427a 10), une première mention explicite de la notion de « point », mais il utilise le terme grec archaïque « stigmé » qui désigne la piqûre, à peine visible, provoquée par une pointe (de compas par exemple). Aristote fait donc référence à l’intuition sensible d’une trace matérielle, comme une minuscule tache incrustée à la surface d’un objet, à peine remarquable à l’œil nu, mais cependant théoriquement divisible, aussi peu étendue soit-elle. L’évocation aristotélicienne du « point-piqûre » ne relève donc pas de la conception géométrique, puisqu’elle appartient au registre de la spatialité concrète, purement intuitive, et non au domaine théorique de l’abstraction mathématique – celui des objets géométriques et de leurs règles opératoires autonomes.

 

En géométrie euclidienne, le « point » est mathématiquement défini comme un néant physique, une absence complète de matérialité, le Rien ou le Zéro. Le point géométrique ne possède aucun attribut matériel : ni granulosité, ni couleur, ni irrégularité graphique ; il est indivisible et sans aucune figure particulière. C’est en quelque sorte l’élément ultime infiniment (idéalement) petit qui échappe à toute mesure physique, et sur lequel la pensée analytique n’a plus d’emprise, car elle ne peut plus exercer ses divisions, ses fractionnements opératoires. Le mathématicien allemand David Hilbert (1862-1943), dans Les Fondements de la géométrie (1899), en donnera une reformulation axiomatique autonome, radicalement anti-intuitive (les « points » sont pour Hilbert un « système de choses » – en allemand « Systeme von Dingen », Chapitre I, §1), entièrement compatible logiquement avec l’axiomatique d’Euclide.

 

Dans son livre intitulé Point et ligne sur plan, le peintre russe et théoricien de l'art Wassily Kandinsky (1866-1944) commence d’ailleurs par là sa réflexion sur les principes fondamentaux de l’œuvre peinte : « Le point géométrique est un être invisible. Il doit donc être défini comme immatériel. Du point de vue matériel, le point égale Zéro. (…) En pensée abstraite ou dans notre conception, le point est idéalement petit, idéalement rond. En somme, il est le cercle idéalement petit. [1] » En termes analogues, le peintre suisse et théoricien de l'art de langue allemande Paul Klee (1879-1940) – professeur au Bauhaus de Weimar comme Kandinsky –, exprima à sa manière, dans sa "Note sur le point gris" (1921-1922), une telle conception immatérielle du point, en définissant le point géométrique comme un « être-néant » ou « néant-être », élément génétique radical à partir duquel sont engendrées toutes les figures, infiniment complexes, dans le plan et l’espace [2]. Mais qu’est-il écrit exactement dans les Éléments d’Euclide ?

 

Dans le Livre I du traité d’Euclide (composé de treize livres dont Euclide ne fut probablement pas l'unique auteur), les deux éléments primordiaux que sont le point et la ligne sont conçus dans leur idéalité absolue, c'est-à-dire en tant que formes abstraites originaires, virtuellement génératrices de toutes les figures possibles du plan ou de l’espace. La première définition du Livre I des Éléments énonce cette propriété, purement négative, du point mathématique : « Un point (sêméion) est ce qui n’a aucune partie » (Livre I, Définition 1 : Ʃημεϊόν έστιν, ού μέρος ούθέν.). En fait, le terme grec « sêméion » utilisé pour désigner le point mathématique, signifie le « signe », entité idéale sans figure. Le point euclidien n’ayant aucune partie, il n’a donc ni longueur, ni largeur, ni épaisseur ; il n’a donc pas de grandeur, et n’est par conséquent pas mesurable. La définition du point par Euclide peut aussi être traduite en termes équivalents : « Un point est ce dont la partie est nulle ». Ce qui revient à dire que c’est un néant de figure, une entité abstraite sans aucune partie, idéalement indivisible. Sa dimension topologique est donc, en vertu de la définition euclidienne, absolument égale à zéro. Le point mathématique euclidien représente, à ce titre, le terme ultime de la pensée fragmentiste, indépendamment de toute intuition sensible qui pourrait encore donner à la notion de « point » un quelconque substrat phénoménal.

 

Quant au concept de « ligne », il participe – par principe génératif – de l’idéalité du point dont il représente en quelque sorte la première extension bidimensionnelle : « Une ligne est une longueur sans largeur » (Livre I, Définition 2), et « Les extrémités d'une ligne sont des points » (Livre I, Définition 3). On peut donc en déduire que la ligne « en soi » représente, au même titre que le point idéal, un élément immatériel sans aucune épaisseur, bien qu’elle puisse revêtir diverses formes visibles plus ou moins complexes dans le plan – comme autant « d’illustrations » phénoménales imparfaites, dégradées et forcément inadéquates, au regard de l’idéalité géométrique qu’elles incarnent. Pourtant, ces deux éléments géométriques « infiniment petit » indivisible pour l’un (le point), ou infiniment mince pour l’autre (la ligne), sans figure et donc sans grandeur – la mesure des grandeurs, divisibles en parties distinctes, s’exprimant par les rapports finis qu’elles ont entre elles –, constituent les éléments primitifs de la géométrie classique depuis l’Antiquité. C’est précisément pour cette raison « négative » que le point euclidien représente une sorte d’archétype ou de virtualité génétique de tous les points matériels et de toutes les lignes du plan, en nombre infini, que les artistes peuvent créer empiriquement, éventuellement par le moyen de la numérisation séquentielle des images (le pixel, avatar électronique sans dimension fixe du « point matériel »).

 

Le point géométrique sous-tend, idéalement, la production et la perception esthétique des innombrables exemples de points picturaux, mis en œuvre par les artistes dans leurs compositions. C’est bien là le sens que Wassily Kandinsky et Paul Klee donnaient au concept de point, sous l’angle de son universalité immatérielle, définissable mais non représentable, bien que – et pour cette raison – génératrice, à la manière d’un moteur secret, de figures visuelles polymorphes innombrables. Selon la terminologie de Kandinsky dans Point et ligne sur plan (1926), le point géométrique idéal (euclidien) est le point « intérieur » du point pictural matériel et polymorphe, lequel est le point « extérieur » ou l’extériorisation du premier. Le point euclidien idéal désigne, dans ce type de contexte artistique, le principe ou l'archétype générateur de la multiplicité des figures matérielles, concrétisables par le travail artistique du peintre ou du dessinateur.

 

Rappelons que dans l'axiomatique euclidienne, tous les éléments géométriques fondamentaux possèdent une dimension topologique entière : le point possède la dimension nulle D = 0, la ligne possède la dimension D = 1, et le plan (la surface) possède la dimension D = 2. Quant au solide (volume), il possède la dimension D = 3, car il relie entre eux des points, des lignes − courbes ou droites − et des plans, tous éléments ayant des dimensions entières. Il n'existe aucun intermédiaire fractionnaire entre ces dimensions géométriques entières (D = 0, 1, 2 ou 3). Les éléments premiers euclidiens, par la force de leur abstraction conceptuelle, ont servi et continuent de servir puissamment la complexification continue de la mathématique classique depuis l'Antiquité grecque, ainsi que la construction de nombreuses théories physiques et leurs applications, mais ils nous permettent aussi de mesurer la distance de pensée qui s'est instaurée entre la géométrie euclidienne (standard) et la géométrie fractale (non-standard), qui propose un modèle de conception du réel plus riche que celui d’Euclide.


[1] W. KANDINSKY, Point et ligne sur plan, 1926, traduction de l'allemand Paris, Éditions Gallimard, coll. folio/essais, 1991, p. 25 et p. 33.

[2] P. KLEE, "Note sur le point gris", 1921-1922, in Théorie de l’art moderne, traduction de l’allemand Paris, Éditions Denoël, coll. folio/essais, 1985.

 

 

2. Détail, microcosme et géométrie euclidienne à la Renaissance

 

La volonté artistique qui motive la majorité des peintres occidentaux, depuis l’époque de la Renaissance italienne, au Quattrocento – notamment l’artiste-théoricien italien Léon Battista Alberti [1], dans son traité fondateur de la science de la peinture : De Pictura (1435, De la peinture) –, est traversée par le désir obstiné de comprendre la géométrie intime de la Nature, et de rassembler, de condenser dans l’œuvre picturale (le microcosme), les mystères physiques insondables de la lumière et de la couleur (le macrocosme). Les méandres morphologiques infiniment complexes de la Nature, l’alchimie subtile des couleurs changeantes, sont l’objet de la spéculation esthétique et de la réflexion scientifique du peintre, et motivent son désir de rivaliser avec la Nature. Toutes les parties de la Nature, des plus infimes (microscopiques) aux plus vastes (les corps, les paysages), sont idéalement modélisables au moyen des éléments combinés de la géométrie : point, ligne, surface, volume. La géométrie euclidienne sert de référence à l’usage des peintres et des sculpteurs.

 

Léon Battista Alberti (1404-1472) en Italie, ou notamment Albert Dürer (1471-1528) en Allemagne [2], artistes-mathématiciens illustres par excellence, s’interrogent sur le sens et la fonction de ces éléments euclidiens universels, pour produire rationnellement un équivalent pictural de la Nature, comportant les détails graphiques constitutifs de cette « reconstitution » réaliste. Le traité de géométrie des arts, publié à Nuremberg en 1525 par Albert Dürer, intitulé : Instruction sur la manière de mesurer, est tout autant célèbre que le traité De Pictura, publié en Italie par Léon Battista Alberti en 1435. Il y explore d’ailleurs bien plus en détail qu’Alberti, la théorie et la pratique des éléments géométriques à l’usage des artistes. Ainsi, pour Albert Dürer, les figures tracées à la règle et au compas résultent d’une conception abstraite, purement mathématique, de la genèse et de la combinaison des éléments, au premier chef, du point et de la ligne.

 

Le point mathématique euclidien, élément abstrait sans dimension (donc invisible), qui ne possède pour cette raison ni largeur, ni longueur, ni épaisseur, est défini comme une entité géométrique idéale, indivisible et infiniment petite, qualificatifs renvoyant (dans ce contexte euclidien) à la dimension nulle du point. Le point peut être « étiré », prolongé indéfiniment ad libitum – tout au moins en théorie –, dans n’importe quelle direction de l’espace, pour engendrer la ligne, élément euclidien unidimensionnel, sans épaisseur ni largeur. Mais la ligne, inversement, peut être contractée à l’extrême jusque dans son retranchement ultime (« sa plus simple expression », comme l’écrit Dürer) : le point indivisible et sans dimension, si bien que le point peut être considéré, conceptuellement, comme une ligne infiniment condensée, de dimension nulle. Dürer écrit à ce propos : « Un point est quelque chose qui n’a ni taille (Grösse), ni largeur, ni longueur, ni épaisseur. (…) Maintenant, si ce point est étiré de son commencement jusqu’à un autre lieu, alors nous appelons cela une ligne, et cette ligne est une dimension sans épaisseur et sans profondeur. Elle peut être tirée aussi loin que nous le voulons. (…) Si nous pouvions y arriver, et si le temps ne l’empêchait pas, nous pourrions tirer la ligne droite éternellement, ou alors la réduire à sa plus simple expression. [3] »

 

Derrière ces considérations purement mathématiques sur le point et l’infiniment petit insécable, indivisible, qu’il symbolise, ainsi que celles relatives aux transformations géométriques du point à travers les variétés innombrables de la ligne, ce sont des préoccupations d’ordre artistique qui s’affirment. La conception purement rationnelle du point et de la ligne, fut le motif d’une infinitisation des détails en peinture : le plus petit élément de la peinture, le microcosme, est susceptible de condenser, de contracter en lui-même un macrocosme rempli de formes détaillées. Divers artistes renaissants, du nord autant que du sud de l’Europe, en ont fourni des exemples picturaux magistraux, à l’instar notamment du peintre flamand Jan Van Eyck (env. 1390-1441). Le souci de condenser le macrocosme, l’immense ou le très grand à l’intérieur de la trace microcosmique, inscrite sur le tableau, est présent dans les plis bien détaillés des broderies, dentelles, draperies et vêtements ; il s’affirme dans les linéaments raffinés à l’extrême des bijoux, des objets précieux, des ombres modelées, des corps, des coiffes et des lignes du visage, des petits personnages vus au loin, des paysages lointains mais bien détaillés, et des décors d’arrière-plan.

 

Les tableaux de Jan Van Eyck sont de véritables chefs-d’œuvre de précision figurative. Le dessin des figures miniaturisées, en chaque parcelle de l’œuvre, traduit un sens aigu du détail réaliste qui reflète l’intérêt grandissant porté aux spéculations mathématiques – et aussi, en partie, métaphysiques – sur le calcul des quantités infinitésimales, à l’époque de la Renaissance puis, surtout, à partir du seizième siècle. Les nombreux détails picturaux représentent, en quelque sorte, les équivalents ou les homologues graphiques des quantités infiniment petites et indivisibles, utilisées dans les démonstrations géométriques. L’usage récent de la peinture à l’huile par Jan Van Eyck (et Hubert son frère aîné, env. 1366-1426), a rendu possible ce raffinement extraordinaire dans le rendu des détails figuratifs, des contours et des lignes, des plis, des drapés et des carnations. La transparence des glacis, la subtilité des dégradés de valeurs lumineuses (dans la perspective atmosphérique, notamment), ainsi que la pureté et l’éclat des couleurs dus au nouveau médium, ont contribué, comme jamais auparavant, à la mise en valeur du détail figuratif, en tout fragment du tableau.

 

Inversement, les tableaux de la Renaissance peints à l’huile, à l’instar de Jan Van Eyck, s’ouvrent en arrière-plan sur l’immensité de l’Univers, rendue sensible par la ligne d’horizon indéfiniment fuyante – tel un mirage optique –, et symbolisée par le point de fuite imaginaire situé, géométriquement, à l’infini – donc nulle part. La profondeur infinie de l’espace, désormais sciemment recherchée comme le but essentiel de la représentation picturale, est rendue perceptible grâce à la fluidité atmosphérique et à la transparence de la peinture à l’huile, médium ductile, limpide et précis. Forte de ces propriétés matérielles jusqu’alors inexploitées, l’œuvre peinte renferme donc en elle à la fois l’infiniment grand, l’Univers entier, l’espace illimité, et leur inverse radical, l’infiniment petit indivisible – entité mathématique ou physique idéale –, le microcosme, le minuscule quasi sans dimension (mais en peinture, toute trace, même infime, possède une réelle dimension matérielle). Chaque détail reflète à sa manière la totalité indissociable de l’œuvre – il en est une pars totalis –, qui fait elle-même écho à la totalité (divine) de l’Univers.

 

L’historien de l’art et esthéticien français, Henri Focillon (1881-1943), avait souligné très justement, dans son livre Art d’Occident (1938), à quel point la volonté de donner une expression figurative détaillée au « microcosme infinitésimal », animait l’intention créatrice des artistes de la Renaissance, et de Jan Van Eyck en particulier, lequel fut formé à la technique méticuleuse de l’enluminure. Il parle d’ailleurs, à propos de Jan Van Eyck, d’une « certaine philosophie du microcosme [4] », car la peinture étant devenue un nouveau procédé de connaissance de l’Univers, elle a développé « le goût de l’infiniment petit [5] » et une passion croissante pour l’expression du détail, exécuté avec une extrême minutie. Les paysages à la fois immenses et minuscules, les objets et les personnages de très petite taille, parfois à peine discernables, peints avec une grande précision par Jan Van Eyck, témoignent probablement de son intention « d’insérer dans le monde de Dieu un monde peint qui en répercute infinitésimalement les mesures [6] ». En somme, l’artiste renaissant à la manière de Jan Van Eyck se sent comme l’émule de Dieu ; il se donne alors pour mission créatrice idéale de répliquer les êtres et les choses innombrables (la liste en est virtuellement infinie [7]), qui peuplent l’Univers, jusque dans leurs moindres détails.

 

En Italie, Léonard de Vinci (1452-1519) compte parmi les représentants les plus typiques de la volonté de pactiser intimement avec les lois de la Nature : « Le peintre discute et rivalise avec la nature. [8] » La géométrie infinitésimale, encore très intuitive, non formalisée jusqu’à l’émergence, vers la fin du dix-septième siècle, de l’analyse des quantités différentielles « infiniment petites » par Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) et Guillaume de L’Hospital (1661-1704) – parmi d’autres mathématiciens qui y contribuèrent –, servait généralement de modèle théorique pour penser la complexité des interactions physiques de la matière et de la lumière, afin de les transposer dans l’univers des couleurs propres aux figures du tableau. Une esthétique de l’infime, du détail microscopique, s’est développée durablement à partir d’un ensemble de spéculations mathématiciennes, portant sur la géométrie naturelle des quantités infinitésimales de lumière et de matière, en interactions multiples, enchevêtrées et continuellement changeantes.

 

L’atmosphère qui baigne les objets est saturée d’une infinité de rayons lumineux incidents, qui s’entrecroisent dans toutes les directions de l’espace, sous tous les angles possibles. Chaque corps, jusque dans la moindre de ses parties, reflète tous les autres corps de son environnement, et se reflète sur chacun d’eux, sous des angles d’incidence variés, ainsi que Léonard de Vinci le constate : « La surface de chaque corps participe de la couleur de tout ce qui lui est opposé. Les couleurs des choses exposées à la lumière se reproduisent sur la surface de chacune, en différents points, suivant les diverses positions de ces objets. [9] » Il s’ensuit que les objets naturels sont constitués d’un nombre incalculable de détails chromatiques, en toutes leurs parties. Le travail du peintre consiste à transposer les effets chromatiques « infinitésimaux » de la Nature, dans les fragments les plus infimes de la surface peinte, afin que le microcosme pictural traduise par équivalence et reflète à sa manière, le macrocosme naturel.

 

Le tableau devient ainsi une partie synthétique de la totalité universelle, une pars totalis : la partie qu’est le tableau est, littéralement, une « partie totale », autrement dit le tableau représente le tout de l’Univers en miniature, il en détient, en théorie, les mêmes propriétés physiques. Selon le même principe de la pars totalis, chaque détail de l’œuvre, à son tour, reflète la totalité chromatique de l’ensemble pictural auquel elle appartient, par le jeu infini des miroirs réflecteurs qui irradie toutes les parcelles de l’œuvre, dans l’intimité physique de sa matière. Chaque micro-détail se réfléchit sur tous les détails environnants, proches ou plus lointains, avec lesquels il est en interaction lumineuse.


[1] Léon Battista ALBERTI, Gênes, 1404 – Rome, 1472, peintre, poète, architecte et théoricien italien de la peinture, l’un des principaux fondateurs de la théorie moderne de la peinture et de la perspective géométrique (De Pictura, 1435).

[2] Albert DÜRER, Nuremberg, 1471-1528, peintre, graveur, mathématicien allemand, théoricien de la géométrie euclidienne et auteur d’une théorie des proportions appliquées aux arts, notamment : Instruction sur la manière de mesurer, 1525 et Traité des proportions, 1528.

[3] Albert DÜRER, Instruction sur la manière de mesurer (1525), Livre I, traduction Éditions Flammarion, Paris, 1995, p. 27-28.

[4] H. FOCILLON, Art d’Occident (1938), Livre troisième, Chapitre II, Librairie Armand Colin, Le Livre de Poche, Paris, 1996, p. 655.

[5] H. FOCILLON, Art d’Occident (1938), Livre troisième, Chapitre II, Librairie Armand Colin, Le Livre de Poche, Paris, 1996, p. 655.

[6] H. FOCILLON, Art d’Occident (1938), Livre troisième, Chapitre II, Librairie Armand Colin, Le Livre de Poche, Paris, 1996, p. 655-656.

[7] Cf. le thème de la liste (catalogue) finie ou infinie dans les arts (littérature, peinture), dans le superbe ouvrage d’Umberto ECO : Vertige de la liste, Paris, Éditions Flammarion, 2009.

[8] Léonard de VINCI, Traité de la peinture (env. 1490-1500), textes traduits et présentés par André CHASTEL, Éditions Berger-Levrault, Paris, 1987, p. 112.

[9] Léonard de VINCI, in Les Carnets de Léonard de Vinci, Éditions Tel/Gallimard (1942), tome II, Paris, 1987, p. 275-276.

 

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 © Jean-Claude Chirollet



29/03/2014