Hyperréels non-archimédiens / Ordres de grandeur - Arts / Numérisation / Fractals

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Hyperréels non-archimédiens / Ordres de grandeur

 

 

 

 

Cet article sur la théorie mathématique des nombres non-archimédiens n'est qu'un aperçu synthétique (parfois schématique) de cette question de vaste envergure, aussi bien historique que scientifique. Il se propose essentiellement d'exposer en quoi la géométrie fractale, géométrie non-standard présentant des postulats différents de la géométrie euclidienne classique, repose logiquement sur un système algébrique de nombres non-archimédiens, dits « hyperréels » en Analyse Non-Standard contemporaine (ANS). Le texte est divisé en sections numérotées, suivies des notes cliquables qu'elles contiennent le cas échéant.

 

 

1. Infini / Infiniment petits / Infiniment grands

 

Pour traduire l’inversion réciproque du gigantesque et du minuscule, la représentation
mathématique classique met en relation trois symboles fondamentaux : 0 (zéro : le vide, le rien), 1 (l’unité : le plein, le tout), et ∞ (l’infini : l’immense, l’illimité, l’incommensurable). Le symbole de l’infini mathématique (∞) signifie un nombre infini « réalisé » ou « actuel », si bien que l’opération d’inversion de l’infini (1/∞) égale zéro. Par convention : 1/∞ = 0. Cependant, un nombre infini n’a pas de sens au plan opératoire, car si l’on doit considérer l’inverse de ∞ comme nul (1/∞ = 0), le résultat de l’inversion (valeur nulle) désigne le rien ou le vide. Il en résulte que 1/∞ = 0 ne peut désigner aucune singularité locale, aucun micro-détail spatial, aucune réalité infinitésimale. D’autre part, l’inverse de 0 (1/0) n’a pas de sens calculatoire, puisque c’est un non-sens opératoire de prétendre diviser une quantité par « rien », l’absence même de quantité ! Pourtant, l’inverse de 1/∞ est bien égal, en toute logique, à l’infini : ∞/1 = ∞.

 

Pour sortir de ce paradoxe de l’inversion de l’infini mathématique, l’Analyse Non-Standard (c’est-à-dire non-classique) – en abrégé l’ANS –, inventée dans les années 1960 par l’ingénieur, mathématicien et logicien américain Abraham Robinson (1918-1974) [1] – mais dont les principes opératoires remontent au dix-septième siècle, avec l’analyse infinitésimale de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) –, utilise quatre symboles fondamentaux pour signifier l’inversion opératoire réciproque du « grand » et du « petit ». Ces quatre symboles sont : 1, 0, ω (infiniment grand, abréviation : ω-ig), et ε (infiniment petit, abréviation : ε-ip). Le symbole ∞ n’étant plus utilisé comme symbole opératoire, le symbole ω désigne un nombre « infiniment grand » mais non « infini », dont l’échelle de grandeur dépasse celle de tout nombre entier aussi grand que l’on veut, effectivement inscriptible ou désignable au moyen d’une formule opératoire. Quant au symbole ε, il désigne un nombre « infiniment petit » mais non nul (différent de zéro), dont l’échelle de grandeur est inférieure à celle de tout nombre réel aussi proche de zéro que l’on veut, effectivement inscriptible ou désignable au moyen d’une formule opératoire. Dans le cadre de la mathématique non-standard, les nombres « infiniment petits » (ε-ip) et « infiniment grands » (ω-ig) [2] sont baptisés nombres « hyperréels », pour les distinguer des nombres opératoires classiques (nombres dits « appréciables » en terminologie ANS), lesquels ne prennent pas en compte les variations d’échelles (ou d'ordres) de grandeur dans les raisonnements mathématiques.

 

Prenant en compte les différents ordres ou échelles de grandeur, potentiellement infinis, les nombres hyperréels ε-ip et ω-ig n’obéissent plus, en particulier, à « l’axiome d’Archimède », comme c’est le cas pour les nombres classiques, dont les propriétés sont homogènes. Résumé très brièvement, ce fameux axiome de la mathématique standard dit que, étant donnés deux nombres réels positifs a et b, dont l’un est très supérieur à l’autre (par exemple : a = 0,0000001 et b = mille milliards de milliards), le plus grand nombre (ici : b) pourra toujours être dépassé en multipliant le plus petit (ici : a) par un nombre entier positif k choisi de manière adéquate. Autrement dit : il existe un nombre entier positif k, tel que le nombre a (aussi petit que l’on veut) multiplié par k, soit supérieur au nombre b, quelle que soit sa grandeur : ka > b. – Or, cet « axiome d’Archimède » n’est plus valide pour les calculs de nombres hyperréels ε-ip et ω-ig, car les échelles (ou ordres) de grandeur indéfiniment différenciées et imbriquées, ne communiquent pas entre elles, les ε-ip pouvant toujours être choisis en-deçà de tout nombre réel positif, aussi petit soit-il (ε-ip inférieur à tout nombre réel a, aussi petit que l’on veut), et les ω-ig choisis au-delà de tout nombre entier positif, aussi grand soit-il (ω-ig supérieur à tout nombre entier b, aussi grand que l’on veut). Les hyperréels sont non-archimédiens, alors que les nombres réels ordinaires sont archimédiens.

 


[1] L’Analyse Non-Standard (en abrégé : l’A.N.S.) est née dans les années 1960, des travaux de recherche en logique mathématique menés par Abraham Robinson (Allemagne, 1918 – États-Unis, 1974), ingénieur en aérodynamique et logicien-mathématicien américain. La publication en 1966 de son ouvrage fondateur : Non-Standard Analysis, a bouleversé profondément la théorie « classique » des nombres réels, utilisés en analyse mathématique. – Abraham Robinson, Non-Standard Analysis, éditions North Holland, Amsterdam, 1966 ; 2è éd. révisée 1974. Réédition : Abraham Robinson, Non-Standard Analysis, Princeton University Press, New Jersey, U.S.A., 1996. – Le mathématicien américain Edward Nelson (né en 1932) donna une formulation axiomatique de la théorie logique non-standardiste d’Abraham Robinson, notamment dans un article fondamental publié en 1977 : Internal Set Theory : a new approach to Non-Standard Analysis, Bulletin of the American Mathematical Society, Volume 83, Number 6, 1977, p. 1165–1198.

[2] Les notations « ε-ip » et « ω-ig » peuvent être aussi abrégées en « ip » et « ig », pour désigner respectivement les nombres infiniment petits et infiniment grands. – Rappel : les lettres de l’alphabet grec : ε et ω, se lisent respectivement « epsilon » et « oméga ».

 

2. L'emboîtement ad infinitum des ordres de grandeur

 

Dans le cadre des hyperréels ε-ip et ω-ig, les rapports élémentaires d’inversion d’échelles sont traduits par les relations suivantes entre ε et ω : 1/ω = ε ; 1/ε = ω. Le rapport 1/ω = ε est dit « infiniment proche de zéro », propriété qui s’écrit : 1/ω = ε ≈ 0 (le symbole ≈ signifie « quasi égal à » : la quasi-égalité ou « adégalité » du mathématicien italien Torricelli, 1608-1647). Mais, contrairement à l’Analyse traditionnelle [3], l’Analyse Non-Standard autorise les relations opératoires sur une quantité illimitée d’ordres (ou échelles) de grandeur. Voici le début d’une série d’infiniment petits ε-ip, d’ordres 1, 2, 3, 4,… n, et de leurs inverses infiniment grands ω-ig d’ordres 1, 2, 3, 4,… n (l’ordre npuissance entière de ω et ε – étant choisi aussi grand que l’on veut) :

 

– Série ε-ip : 1/ω = ε ; 1/ω2 = ε2 ; 1/ω3 = ε; 1/ω4 = ε4 … 1/ωn = εn

– Série ω-ig : 1/ε = ω ; 1/ε2 = ω; 1/ε3 = ω; 1/ε4 = ω4 … 1/εn = ωn

 

De plus, le raffinement dans l’échelonnement des ordres de grandeur est lui-même extensible à l’infini : entre deux ordres entiers de grandeur, on peut définir arbitrairement une infinité d’ordres intermédiaires, aussi bien dans le domaine des échelles de grandeur infiniment petites, que dans celui des échelles de grandeur infiniment grandes. Les micro-détails infinitésimaux emboîtés dans les micro-détails infinitésimaux, « plis dans plis », ad infinitum... (Cf. Le Pli, Gilles Deleuze, Paris, Éd. de Minuit, 1988). Ainsi, entre les échelles entières d’ordres 1 et 2 des ε-ip (ou des ω-ig), on peut définir une infinité d’échelles d’ordres intermédiaires non-entiers (décimaux, rationnels ou irrationnels), dont voici un aperçu synthétique ci-dessous. Entre chaque ordre: [1 à  1,1],  [1,1 à 1,2],  [1,2 à 1,3], ... [1,9 à 2], il existe une infinité potentielle d'échelles de grandeur intermédiaires, infiniment petites, emboîtées les unes dans les autres — symbolisées ici par les pointillés entre parenthèses (...) :

 

1/ω1 = ε (...) 1/ω1,1 = ε1,1 (...) 1/ω1,2 = ε1,2 (...) 1/ω1,3 = ε1,3 (…...) 1/ω2 = ε2

 

Ainsi, entre deux ordres décimaux, une infinité potentielle d’ordres intermédiaires est définissable. Par exemple, entre les infinitésimaux d’ordres 1,1 et 1,2 ci-dessus, on peut définir la série des échelles infinitésimales suivantes :

 

1/ω1,1 = ε1,1 (…) 1/ω1,11 = ε1,11 (…) 1/ω1,12 = ε1,12 (…) 1/ω1,13 = ε1,13 (……) 1/ω1,2 = ε1,2

 

Dans l'univers des nombres infiniment petits ε-ip et des nombres infiniment grands ω-ig, qui sont une extension R* des nombres réels ordinaires R, l'axiome de continuité n'est plus valide. C'est une conséquence logique qui découle directement de la hiérarchie ad infinitum des ordres de grandeur qui ne « communiquent pas entre eux », car il existe toujours par définition un infiniment petit εn d'ordre n (c'est-à-dire inférieur à tout nombre réel positif, aussi voisin de 0 que l'on voudra arbitrairement)et un nombre entier k aussi grand que l'on veut  arbitrairement (« appréciable », non infiniment grand), de telle sorte que pour tout nombre réel positif X > 0, même infiniment proche de 0, la relation : kεn < X sera toujours vérifiée.  

 

Autrement dit : kεn ne surpassera jamais X, aussi « petit » soit-il, car les nombres εn et X représentent des grandeurs hétérogènes, donc incommensurables.

 

Symétriquement, l'invalidité de l'axiome d'Archimède se traduit également par une relation d'inégalité entre un nombre réel ordinaire (dit « appréciable » en ANS), et un nombre infiniment grand d'ordre n. En effet, il existe toujours par définition un infiniment grand ωn d'ordre n (c'est-à-dire supérieur à tout nombre entier positif, aussi grand que l'on voudra arbitrairement), et un nombre entier k aussi grand que l'on veut  arbitrairement (« appréciable », non infiniment grand), de telle sorte que pour tout nombre entier positif N aussi grand que l'on voudra arbitrairement, la relation : kN < ωn sera toujours vérifiée.

 

Autrement dit : kN ne surpassera jamais ωn, aussi « grand » soit-il, car les nombres ωn et N représentent des grandeurs hétérogènes, par conséquent incommensurables.

 

Le mathématicien italien Giuseppe Veronese (1854-1917) inventa une géométrie non-archimédienne – dans ses Fondements de la Géométrie, 1891 –, dans laquelle l'axiome d'Archimède est exclu, car il remarqua qu'à la base de tous les types de géométrie, il y a bien la notion de corps ordonné de nombres (par exemple le corps R des réels, entiers ou décimaux : 0 < 1 < 2 < 7/3 <  π < ...< n < n+1 < ... etc.), mais que ce corps ordonné de nombres n'a nullement besoin d'obéir à l'axiome de continuité, ce qui implique logiquement d'introduire des infiniment petits (ε-ip finis non nuls) et des infiniment grands (ω-ig finis, non « infinis en acte ») comme extension R* du corps R des nombres réels ordinaires.

 

Peu après Giuseppe Veronese, le mathématicien allemand David Hilbert (1862-1943) imagina à son tour – dans ses Fondements de la Géométrie, 1899 –, une géométrie excluant l'axiome d'Archimède, mais tout aussi consistante (c'est-à-dire non contradictoire) que les systèmes géométriques incluant cet axiome, depuis les Éléments d'Euclide.

 


[3] On peut définir l’Analyse mathématique, globalement, comme la branche des mathématiques qui traite du calcul infinitésimal (calcul différentiel et intégral), de la théorie des nombres et des fonctions.

 

 3. Fractals autosimilaires et hyperréels

 

L’intérêt inestimable d’une telle symbolique non-standard, c’est de permettre de travailler sur une infinité d’échelles de grandeurs différentes, en fonction des besoins calculatoires, et donc de pratiquer les inversions scalaires de manière puissante et significative. Le rapport du « petit » au « grand », de l’échelle locale infinitésimale, à l’échelle globale du gigantesque, de l’incommensurable et de la totalité, s’y pratique avec raffinement dans l’infinité des plis et des replis labyrinthiques de l’univers des nombres hyperréels, selon une infinité potentielle d’échelles de grandeur. L’Analyse Non-Standard (ANS) représente, par excellence, la clé de l’analyse des formes fractales multiscalaires, quant aux rapports d’inversion d’échelles de grandeur qu’elles entretiennent entre elles, du tout (provisoire) à la partie (tout aussi éphémère). Le détail local, minuscule, éventuellement infinitésimal, recèle toute la richesse morphologique de l’ensemble global gigantesque, voire incommensurable, auquel il appartient, en vertu de la propriété d’autosimilarité.

 

Dans « l’univers infinitésimal », tous les infinitésimaux sont semblables entre eux : ils font partie de la classe des ε-ip. Mais ils sont aussi tous différents dans leurs détails, en fonction de l’ordre auquel ils appartiennent, soit entier : ε, ε2, ε3, ε4, …, εn, …), soit décimal entre deux ordres entiers, par exemple : ε2, ε2,1, ε2,2, ε2,3, ε2,4, …, ε3.

 

Il en va de même des infiniment grands, tous semblables (classe des ω-ig), mais aussi tous différents dans leurs détails, en vertu de leur ordre d’appartenance, soit entier : ω, ω2, ω3, ω4, …, ωn, …, soit décimal entre deux ordres entiers, par exemple : ω2, ω2,1, ω2,2, ω2,3, ω2,4, …, ω3. Tout passage d’un ordre de grandeur ε-ip ou ω-ig au suivant, s’effectue brusquement par saut d’échelle, perçu comme une différence radicale entre les degrés d’infiniment petits ou grands, de nature quantitative (objective), mais aussi tout autant de nature qualitative (subjective).

 

Une comparaison, très simple, avec des nombres réels « ordinaires » admis comme « très petits », fera aisément intuitionner cette différence à la fois quantitative et qualitative entre les divers ordres d’infinitésimaux, tous semblables entre eux dans leur « petitesse », mais très différents dans leurs détails. Admettons que l’on choisisse un réel considéré comme « très petit » d’ordre 1 : 1/100 par exemple (= 0,01). Le réel « très petit » d’ordre 2 sera : 1/1002 = 0,0001. Puis le réel « très petit » d’ordre 3 sera : 1/1003 = 0,000001 ; etc. Ainsi, de l’ordre 1 à l’ordre 2 de « petitesse », on passe du centième (1/100) au dix-millième (1/10 000) ; puis de l’ordre 2 à l’ordre 3, du dix-millième au millionième (1/1 000 000).

 

Supposons que l’unité de référence choisie soit le millimètre : une grandeur de 1/10è de millimètre reste, à l’extrême rigueur, imaginable perceptivement ; par contre 1/100è de millimètre est inconcevable visuellement. À plus forte raison, une grandeur de l’ordre du dix-millième de millimètre est absolument inimaginable. Quant à une grandeur de l’ordre du millionième de millimètre, elle est encore plus inimaginable perceptivement. Ces trois ordres entiers de « petitesse » relative montrent bien qu’il existe des différences entre eux, à la fois quantitatives et qualitatives. D’ailleurs, les différences quantitatives et qualitatives se creuseraient de plus en plus (potentiellement « à l’infini ») si l’on passait aux ordres supérieurs : 4, 5, …, n… (l’ordre n étant choisi arbitrairement « grand »), bien qu'en fait tous ces ordres de petitesse soient globalement similaires entre eux au plan quantitatif utilitaire, par exemple pour le physicien dont les calculs pratiques ne demandent souvent guère plus de 3 décimales (au 1/1000è près) ou 4 décimales (au 1/10 000è près) significatives.

 

L’ordre de petitesse du cent-millionième de millimètre et celui du cent-milliardième de millimètre, par exemple, sont extrêmement distants l'un de l'autre au plan quantitatif des échelles de grandeur relatives, à tel point que le premier pourrait être estimé comme absolument « gigantesque » par rapport au second, et ce dernier, inversement, comme absolument « minuscule » ou infinitésimal par rapport au premier ! Par contre, ils sont à peu près semblables du point de vue de l’estimation qualitative subjective de la « petitesse », en référence aux ordres de grandeur ordinaires humainement appréciables. Nous retrouvons là, par analogie, le thème fractaliste du « même » qui est toujours localement ou ponctuellement différent par saut d’échelle : l’autosimilarité fractale.

 

4. Quelques repères sur la préhistoire de l'Analyse Non-Standard :

 

Leibniz (1646-1716), vers 1684, proposa une notation des accroissements différentiels infinitésimaux : dx, et des ordres de grandeur infinitésimaux : dx, d2x, d3x, ..., dnx, ..., ainsi que de leurs inverses « infiniment grands » : 1/dx, 1/d2x, 1/d3x, ..., 1/dnx, ... 

Guillaume de L’Hospital (1661-1704), initié au calcul différentiel leibnizien par Jean Bernoulli (1667-1748), présenta de manière beaucoup plus formalisée l’analyse leibnizienne des infiniment petits, dans son traité : Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (1696), de même que Bernard de Fontenelle (1657-1757) dans son traité : Éléments de la Géométrie de l’infini (1727).

– Les mathématiciens Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), Bernard Bolzano (1781-1848), puis Karl Weierstrass (1815-1897), rejetèrent les infiniment petits leibniziens pour formaliser les principes du calcul différentiel, en leur substituant le concept de « limite à l’infini ».

– C’est seulement dans les années 1960 qu’Abraham Robinson (1918-1974), logicien-mathématicien et ingénieur en aérodynamique américain, fondateur de l’Analyse Non-Standard (ANS), formula une axiomatisation rigoureuse du calcul infinitésimal leibnizien (Non-Standard Analysis, éditions North Holland, Amsterdam, 1966 ; 2è éd. révisée 1974. Réédition : Abraham Robinson, Non-Standard Analysis, Princeton University Press, New Jersey, U.S.A., 1996).

– Le mathématicien américain Edward Nelson (né en 1932) donna une formulation axiomatique de la théorie logique non-standardiste d’Abraham Robinson, notamment dans un article fondamental publié en 1977 : Internal Set Theory : a new approach to Non-Standard Analysis, Bulletin of the American Mathematical Society, Volume 83, Number 6, 1977, p. 1165–1198.

 

 

  

© Jean-Claude Chirollet

 

 

Certains passages de cet article sont en partie adaptés de mon livre : Jean-Claude Chirollet, La question du détail et l'art fractal (à bâtons rompus avec Carlos Ginzburg), Paris, Éditions L'Harmattan, Coll. Histoires et idées des Arts, 2011, p. 62-66.



27/11/2011