Arts / Numérisation / Fractals

 

 

 

 

Philosophe universitaire (agrégé et docteur d'État en Philosophie, maître de conférences des universités habilité à diriger des recherches), spécialisé en Esthétique et Philosophie de l'art, mes centres d'intérêt principaux sont les théories de l'architecture, l'histoire des doctrines esthétiques, l'art moderne et contemporain, ainsi que, surtout, les questions concernant l'impact des technologies de l'information sur la création artistique, la diffusion photographique et la mémoire numérique des arts plastiques et visuels – et, plus largement, le développement mondial des Digital Humanities qui concernent, au premier chef, les questions artistiques et philosophiques.

 

D'autre part, je me consacre depuis le milieu des années 1980, à des recherches sur l'art fractaliste (également dit plus brièvement « art fractal »), en lien avec divers artistes représentatifs de ce courant de pensée artistique international − notamment Carlos Ginzburg, Jean-Claude Meynard, Miguel Chevalier, Jean-Paul Agosti, Jean Letourneur, Edward Berko, ainsi que  d'autres  artistes de renommée internationale, dont les styles de création sont tous différents les uns des autres, bien qu'apparentés au champ conceptuel de la fractalité et celui de la complexité des systèmes dynamiques chaotiques.

 

Mon intérêt toujours renouvelé pour les Fractal(e)s : objets mathématiques d'une part, images numériques d'autre part, provient de l'étude conjointe de la géométrie fractale inventée par le  mathématicien Benoît Mandelbrot (1924-2010), 

et celle de la science de la complexité informationnelle − dite aussi « théorie du chaos » −, mais aussi de l'étude de l'Analyse Non-Standard (ANS), branche des mathématiques fondamentales à laquelle j'ai consacré de nombreuses années d'étude et divers articles philosophiques et historiques. 

 

Mes livres et articles publiés portent, principalement, sur ces différents thèmes de recherche, au croisement de la science des objets fractals (géométriques), de l'Analyse Non-Standard (ANS), des technologies de l'information (imagerie numérique, photonumérisation), et de l'esthétique des arts de toute nature, traditionnels ou numériques.

 

 

                                                     © Jean-Claude Chirollet

 

 

 

 

Mes livres sur les thèmes "Arts, Fractals, Numérisation" :

 

 

La question du détail et l’art fractal (à bâtons rompus avec Carlos Ginzburg), L’Harmattan, Paris, 2011   Cliquez ici !

 

Heinrich Wölfflin – Comment photographier les sculptures (1896, 1897, 1915), Présentation, traduction de l’allemand et notes (avec fac-similé des textes originaux), L’Harmattan, Paris, 2008   Cliquez ici ! 

 

L’Art dématérialisé – Reproduction numérique et argentique, Mardaga, Wavre (Belgique), 2008   Cliquez ici !

 

Photo-archaïsme du XX^è siècle, L’Harmattan, Paris, 2006   Cliquez ici !

 

Art fractaliste – La complexité du regard, L’Harmattan, Paris, 2005   Cliquez ici !

Numériser, Reproduire, Archiver les images d’art, L’Harmattan, Paris, 2005   Cliquez ici !  

 

Philosophie et Société de l’information – Pour une philosophie fractaliste, Ellipses, Paris, 1999. – Publié en portugais : Filosofia E Sociedade Da Informaçao – Para uma filosofia fractalista, Lisbonne, 2001   Cliquez ici !

 

Les Mémoires de l’art, P.U.F., Paris, 1998

 

Esthétique et Technoscience – Pour la culture techno-esthétique, Mardaga, Wavre (Belgique), 1994   Cliquez ici ! 

 

Esthétique du Photoroman, Édilig, Paris, 1983

 

 

Une sélection d'articles sur les thèmes "Arts, Fractals, Numérisation" :

 

 

L’Approche de l’art d’un point de vue fractaliste, in Revue Tangence, numéro 69, été 2002, Université du Québec, p. 103-132.   Texte intégral :  cliquez ici !

 

En quel sens peut-on parler d'une Esthétique fractaliste ?, in Littérature et Théorie du Chaos, T.L.E., éd. Presses Universitaires de Vincennes, Université Paris VIII, p. 115-140, 1994.

 

Le Chaos créateur, Préface (p. 13-27) du livre de l'artiste fractaliste américain Edward Berko Sur le Mur, éd. La Différence, Paris, 1994.

 

Carlos Ginzburg –  La complexité autoréférentielle du Sujet fractal, revue La Mazarine, éd. du Treize Mars, Paris, septembre 1998, p. 112-114.

 

Temps chaotique et complexité fractale dans Arcadia (1993) de Tom Stoppard, in Temps scientifique, Temps théâtral, éd. C.R.D.P. de Franche-Comté, Besançon, 2001, p. 187-206.

 

Art et théorie de l’information dans l’œuvre d’Abraham Moles,  Revue en ligne canadienne Archée  (Cyberart et Cyberculture artistique), 2001, <http://archee.qc.ca>.

 

Quelle esthétique pour les arts numériques ? – Réflexion sur les origines et le sens esthétique des arts numériques, Revue en ligne canadienne Archée  (Cyberart et Cyberculture artistique), 2001, <http://archee.qc.ca>.

 

Penser l’identité politique à l’ère d’Internet et des technologies de l’information, in La Pensée politique, éd. Ellipses, Paris, 2003 (sous la direction d’Eric Zernik), p. 393-411.

 

Statut documentaire et médiologie du spectacle vivant sur Internet, Revue en ligne canadienne Archée  (Cyberart et Cyberculture artistique), 2002, <http://archee.qc.ca>. Article publié également dans Théâtre et nouvelles Technologies, Éditions Universitaires de Dijon, collection Écritures, Dijon, 2006, p. 189-202.

 

Images fractales : biogénétique des images en restructuration continue, in Les Figures de la Forme, éd. L'Harmattan, Paris, p. 283-295, 1992 (actes du colloque international "Les Figures de la Forme", Université de Dijon, novembre 1990).

 

Les images fractales, modèles artistiques d'objets scientifiques, Revue d'art "Correspondances" n°3, éd. de l'UFR des Arts de l'Université de Strasbourg-II, p. 41-51, 1990 (actes du colloque d'avril 1989, UFR Arts, Les Nouveaux Objets artistiques).

 

L’œuvre peinte et ses photodramaturgies – Voir les tableaux en lumière artificielle, in Revue Technè numéro 15 (La vision des œuvres), Centre de Recherche et de Restauration des Musées de France, Ministère de la Culture, 2^è semestre 2002, Paris, p. 39-48.

 

L'Art et le Politique, in Philosophie de l’Art, éd. Ellipses, Paris, 1998 (sous la direction de R. Quilliot), p. 221-237.

 

Du point euclidien au nuage fractal. Matrices génétiques du détail, Revue KTÈMA (Civilisations de l’Orient, de la Grèce et de Rome antiques), N° 37, in Actes du colloque international : Le détail dans les cultures visuelles (Antiquité-XXIe siècle), UMR 7044 (Archimède), 16-17 mars 2012, Université de Strasbourg (MISHA, Alsace), décembre 2012, p. 409-421.

 

 

Articles d'histoire et théorie des mathématiques (Analyse Non-Standard) :

 

 

Le Continu mathématique du Troisième ordre chez Henri Poincaré, in La Mathématique Non-Standard, éd. du C.N.R.S., Paris, 1989, p. 83-116.

 

Continu naturel et continu mathématique chez Cournot – Le problème du continu et le calcul infinitésimal chez Cournot, Les Cahiers Philosophiques n°52, éd.du C.N.D.P., Paris, octobre 1992, p.25-58.

 

Les Nombres inaccessibles dans l'œuvre d'Émile Borel (1871-1956) – Borel lecteur de Cantor, Les Cahiers Philosophiques n°61, éd. du C.N.D.P., Paris, décembre 1994, p.7-49. – Réédition in Les Cahiers Philosophiques n°91, éd. du C.N.D.P., Paris, juin 2002, p. 30-63.

 

La Science hellénistique de la Mesure au III^è siècle. – Aristarque, Eratosthène, Archimède, Les Cahiers Philosophiques n°70, éd. du C.N.D.P., Paris, mars 1997, p. 81-144.

 

Bertrand Russell, logicien critique des infinitésimaux, Les Cahiers Philosophiques n°75, éd. du C.N.D.P., Paris, juin 1998, p. 87-125.

 

D’Alembert et le calcul infinitésimal – Analyse des limites vs Analyse infinitésimale, Les Cahiers Philosophiques n°79, éd. du C.N.D.P., Paris, juin 1999, p. 5-39.

 

Le Système métrique – Une utopie philanthropique, in Tome V (L'Alsace et l'Europe au moment de la  Révolution française) du collectif La  Révolution française et l'Alsace, éd. Vive 89 en Alsace, 68700 Cernay (sous la direction de M. Kieffer, Directeur de Recherche au C.N.R.S.), 1994, p. 105-110.

 

 

© Jean-Claude Chirollet

 

 

 

 

 

L'ART DÉMATÉRIALISÉ

 

REPRODUCTION NUMÉRIQUE ET ARGENTIQUE

 

Jean-Claude Chirollet

 

Éditions Mardaga, Wavre (Belgique), 2008

204 pages, 27 illustrations couleur

 

 

 

 

  

Les arts plastiques (dessin, peinture, sculpture) et l’architecture ont eu, très tôt, vocation à être reproduits. Dès la fin du quatorzième siècle, les gravures de reproduction se sont multipliées. L’invention de la photographie argentique, au dix-neuvième siècle, a considérablement amplifié le phénomène de la reproduction, à tel point que notre connaissance des arts du monde entier passe, désormais, par celle de leurs reproductions photographiques. Avec le développement continu de la photo et de la vidéo numériques, et celui des logiciels d’imagerie performants, mais aussi grâce à la diffusion en réseau sur Internet, tous les types d’art, y compris le théâtre et les arts de la scène, appartiennent à l’univers « dématérialisé » du codage digital des images. Ce livre propose, à la fois, un panorama des procédés de reproduction d’art (depuis l’ancienne gravure jusqu’à la photo et la vidéo numériques), et une réflexion appliquée – exemples commentés à l’appui – sur les méthodes essentielles de la reproduction photo-numérique, mais aussi photo-argentique traditionnelle, utilisables pour la reproduction des arts.

 

 

Couverture : Carlos Ginzburg, La subjectivité fractale (détail), technique mixte, collage, peinture acrylique, 2005.

 

 

 

   

 

TABLE DES MATIÈRES

 

 

 

Introduction   7

Reproduire les œuvres d’art

De la gravure d’interprétation à l’image numérique

 

1 – De l’estampe traditionnelle à l’héliographie   7

2 – La révolution du daguerréotype   13

3 – Imprimerie photographique, héliogravure, similigravure   21

4 – Les procédés de photographie en couleurs   25

5 – La photogravure polychrome informatisée  31

6 – Photo/Vidéo numériques – Restauration logicielle   34

 

1. La peinture photographiée en « Noir et Blanc »   45

 

1.1 – L’organisation lumineuse interne au tableau   45

1.2 – Dramaturgie photo-lumineuse du tableau   50

1.3 – L’idéalisation photographique de l’œuvre d’art   57

1.4 – De la modélisation achromatique à la vérité stylistique   61

 

2. Numérisation d’images d’art   67

    Questions techniques fondamentales

 

2.1 – Lumière, Température de couleur   68

2.2 – Format, Définition, Résolution   71

2.3 – Profondeur d’échantillonnage   81

2.4 – Dynamique, Codage HDR (High Dynamic Range)   88

2.5 – Colorimétrie, Profils ICC   104

2.6 – Formats de fichiers, Compression   120

2.7 – Numérisation multispectrale   136

 

3. Édition numérique d’images d’art   139

    Photo-interprétation numérique

 

3.1 – Couleurs → Niveaux de Gris → Noir et Blanc   140

3.2 – Ensemble ↔ Détails, Échelles multirésolution   143

3.3 – Plage dynamique étendue (HDR)   147

3.4 – La « vérité » des couleurs   152

 

4. Théâtre multimédia sur Internet   157

 

4.1 – Présentation multimédia du théâtre sur Internet   159

4.2 – Médiologie du théâtre sur Internet   163

4.3 – Transposition multimédia de l’aura théâtrale   169

 

5. L’art à l’ère de sa numérisation   175

 

5.1 – L’art traduit en langage universel   176

5.2 – Équivalence informationnelle : Qualitatif ↔ Quantitatif   178

5.3 – Art hypertextuel fragmentaire   179

5.4 – Vision haptique et pluriscopique   183

5.5 – Vision dynamique : du Cinéma aux Panographies   190

5.6 – Dématérialisation de l’art   196

 

Table des illustrations   201

 

Table des matières   203

 

 
© Jean-Claude Chirollet

 

 

 

ART FRACTALISTE – LA COMPLEXITÉ DU REGARD

 

Jean-Claude Chirollet

 

Éditions L'Harmattan, Paris, 2005

Collection Champs Visuels, 270 pages, 62 illustrations noir-et-blanc

 

 

 

 

 

 

 

 

Il existe dans la nature des structures fractales très variées : les ramifications d’un végétal – de la fougère au chou-fleur –, un nuage, un cyclone ou un simple flocon de neige, par exemple. L’art contemporain international s’en inspire depuis les années 1980, donnant lieu à un véritable courant d’art « fractaliste ». Ce livre constitue la première synthèse théorique, en France, de la pensée artistique fractaliste, dans ses rapports avec les sciences modernes de la complexité fractale.

 

 

 

Couverture : Carlos Ginzburg, Sujet fractal, Composition numérique, 1989.

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

TABLE DES MATIÈRES

 

 

Note préliminaire   5

 

Avant-propos

Le Monde est une fractale…   7

 

Introduction  

Art, science et cyberculture de la fractalité   15

 

De la science des « objets fractals » à l’art fractaliste   15

Mouvement fractaliste international / Groupe fractaliste « Art et Complexité »   18

À propos de l’expression « Art fractaliste »   26

 

I. La géométrie fractale, modèle des arts fractalistes   29

 

I.1. Il n’existe pas de « style » fractaliste   29

I.1.1. Une pensée de l’hybridation aux antipodes de l’esthétique classique   30

I.1.2. Le modèle fractaliste pour « dénominateur intellectuel » commun   32

I.2. La métaphore artistique de la dimension fractale   34

I.2.1. Modèle cartographique : l’importance de l’échelle d’observation   34

I.2.2. La dimension fractale, référence théorique de l’art fractaliste   37

I.2.3. De la dimension fractale à la vision pluriscopique du monde   41 

I.3. Science et art de l’autosimilarité fractale   43

I.3.1. Autosimilarité des images fractales   44

I.3.2. Le statut artistique de l’autosimilarité   49

 

II. Les pratiques artistiques fractalistes   53

 

II.1. Image numérique et installations multimédias   54

II.2. Photographie fractaliste   66

II.3. Peinture et hybridations iconographiques   77

II.4. Sculpture et dispositifs tridimensionnels   99 

II.5.  Musique et Littérature fractalistes   106

 

III. Une philosophie esthétique de la complexité   113 

 

III.1. Le modèle scientifique de la complexité chaotique   113 

III.1.1. Les lois du chaos   114

III.1.2. Le chaos probabiliste, manifestation et métaphore de l’excès du sens   116 

III.2. Eloge artistique de la dissymétrie et du fragment   120 

III.2.1. L’harmonie classique   120 

III.2.2. Une esthétique du « désordre » dynamique et du fragmentaire   122 

III.3. Esthétique du transitoire et de l’incertain   125

III.3.1. Conception fractaliste du monde et opacité de la nature   125

III.3.2. Philosophie esthétique du transitoire et des possibles virtuels   127

  

IV. Pour une théorie esthétique fractaliste   131

  

IV.1. Pédagogie fractaliste du regard esthétique   131 

IV.1.1. La perception dialogique des formes : « micro » vs « macro »   131 

IV.1.2. Pixellisation binaire d’un fragment d’image d’art   135

IV.1.3. Analyse expérimentale de la dimension fractale d’une oeuvre d’art   137

IV.2. Typologie techno-esthétique des algorithmes fractals   141

IV.2.1. Théorie techno-esthétique des algorithmes fractals   142

IV.2.2. La modélisation heuristique des formes par les nombres   144 

IV.3. Cartographies psychiques fractales   148 

IV.3.1. Les « dessins mescaliniens », psychographies fractales   149 

IV.3.2. Oeuvres fractalistes, matrices de mémoire   152 

IV.3.3. Les palimpsestes psychographiques de Bracha Lichtenberg-Ettinger   155

  

Conclusion

Esthétique fractaliste ?   159

 

Métaphore artistique ou expression opératoire de la fractalité ?   159

Les faux précurseurs de l’art fractaliste   162 

La complexité fractale : de la métaphore au modèle opératoire   166

 

Annexe 

Analyse de la dimension fractale d’une représentation artistique   171

  

Glossaire   175

  

Bibliographie  195

 

1 – Sciences de la complexité   195 

a) Livres   195

b) Revues   197

2 – Géométrie fractale, Images fractales, Art fractaliste   197 

a) Livres – Articles   197 

b) Revues   200

c) Catalogues   200

 

Dossier Photos   203

Index des noms du Dossier Photos   265

 

Table des Matières   267

 

 

© Jean-Claude Chirollet

 

 

 

 

LA QUESTION DU DÉTAIL ET L'ART FRACTAL

 

(À BÂTONS ROMPUS AVEC CARLOS GINZBURG)

 

Jean-Claude Chirollet

 

Éditions L'Harmattan, Paris, 2011

Collection Histoires et Idées des Arts, 278 pages, 15 illustrations noir-et-blanc

 

 

 

 

 

 

La question du sens du détail en art, récurrente dans l’histoire de l’esthétique occidentale, se voit renouvelée par la géométrie fractale et surtout par l’art fractal, tel celui de l’artiste international Carlos Ginzburg dont l’œuvre constitue la « toile de fond » de ce livre. La notion de « détail » y trouve son sens dans le rapport complexe du Tout à la partie, mais aussi dans celui du fini à l’infini, du Sujet au Monde, de la carte au territoire. Cet ouvrage interroge aussi les répercussions de la photographie et de l’image numérique sur la théorie du détail dans l’histoire de l’art, mettant en cause le regard « manipulateur » du spectateur.

 

 

Couverture : Carlos Ginzburg, ART/RAT, collage, peinture, textes, images numériques (fragment), env. 3 × 2m, exposition Susan Berko-Conde Gallery, New-York, USA, 2010

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TABLE DES MATIÈRES

 

 

 

Avant-propos

Du détail au fractal ……………………………………………………….5

 

I. Détail(s) / Fractal(es)

Relativité d’échelle ...……………………………………………………..9

 

1. Détail(s) ..………………………………………………………………...9

Question de point de vue

Échelles « microscopiques »

La focalisation du regard

Changement d’échelle et résolution

Relativité d’échelle

 

2. Fractal(es) ..…………………………………………………………….19

Échelles de complexité – Dimension fractale

Fractales déterministes / Hyperfractales (stochastiques)

Échelles cartographiques et dimension fractale

 

II. Esthétique du détail fractal

Local / Global ..…………………………………………………………….35

 

1. Art et science du détail fractal ...…………………………………….35

Esthétique de l’échelle

Carlos Ginzburg, artiste du chaos fractal

 

2. Plis et hologrammes .…………………………………………………..43

Plis fractals, labyrinthes, réseaux

Hologrammes : détail ↔ global

 

3. De l’infime à l’infini – 0/1 ...…………………………………………….53

Codes-barres, Yi-King, « Machine universelle »

Minuscule ↔ Gigantesque – Ensachements

  

III. Cartes / Territoires / Identités

Sujet fractal ...……………………………………………………………….69

 

1. « La carte n’est pas le territoire » .……………………………………69

Identités fractales

Carlos Ginzburg : le Sujet chaotisé

Homo Fractalus : identité dans la différence

 

2. Cartes et « Nano-esthétiques » fractales ..…………………………..77

Cartes et territoires

« Nano-esthétiques » fractales / Panoramas

 

3. Dialogique : Tout ↔ Détail .....………………..…………………………88

Dialogique du Détail et du Tout

« Dessins mescaliniens » / Cartographies psychiques

Sujet fractal : détails en excès

 

IV. Détails de fragments

Parties de parties .....…………………………………………………………97

 

1. Fragment / Fractal .......……………………………………………………97

Fragment : l’ordre brisé

Fragmentisme / Digitalisation

Hybridation numérique et art fractal

 

2. Le regard fragmentaire ......……………………………………………..109

Photo-fragments / Photoromans

Fragments en détail / Pixels

Du fragment iconique à l’atome digital

 

3. Grain, pixel, point .......…………………………………………………...120

Du grain photochimique au pixel

Du pixel au point pictural

Du point pictural au point euclidien

Poussière de points fractale

« Infinitisation »

 

V. Macrovision / Microcosmes

Détails, indices, miniatures ....……………………………………….........133

 

1. Cadrer, détailler .........…………………………………………………….133

Cadrage et conscience du détail

Chronophotographie : instantanés emboîtés

Proxiphotographie / Macrophotographie

Très gros (et gros) plans de détails

 

2. Détails, indices, micro/macro ......……………………………………….143

Œuvres « au détail »

L’art observé à la loupe

Vu de près / Vu de loin – Vision multiscopique

L’infime et le microcosme

 

3. Esthétique du détail (quasi) infinitésimal ......………………………….166

Denis Diderot, critique du détail en peinture

Charles Baudelaire, l’œil microscopique de l’artiste

Du détail pictural au pixel

 

VI. Arts en détail(s)

L’hégémonie du détail .........………………………………………………….185

 

1. L’art observé par le petit bout de la lorgnette .......…………………….185

La troncature photographique

La prolifération du détail

Histoire(s) de détails

 

2. Phénoménologie du détail artistique ......………………………………..206

Photologie du détail

Le détail : nécessaire et subjectif

Immersion dans le détail

L’autonomie du détail au risque de l’arbitraire

 

Conclusion

Histoire(s) du détail ..........……………………………………………………..243

 

DOCUMENTS

Carlos Ginzburg ...........…………………………………………………………251

1. Expositions principales

2. L’Art fractal, 1996 (texte inédit)

 

ILLUSTRATIONS ...............……………………………………………………..259

 

Table des Matières ...........……………………………………………………...275

 

 

 

© Jean-Claude Chirollet

 

 

 

 

 

L'expression anglo-américaine "Digital Humanities" – en français : Humanités Digitales (numériques) –, désigne l'ensemble des sciences humaines et sociales, des arts de toute nature (de l'Antiquité à nos jours) et des lettres (créations littéraires et théâtrales), en tant que ces champs de pensée créatrice, de recherche et d'activité culturelle sont aujourd'hui impliqués par les technologies numériques de l'information et de la communication. La numérisation massive des données (textes anciens, manuscrits, livres, publications officielles ou "littérature grise", musique, films cinématographiques, vidéos, photographies d'œuvres d'art et d'architecture, etc.), leur diffusion en ligne, mais aussi le traitement numérique comparatif de ces données les plus variées, font partie du domaine en expansion continue des Digital Humanities du vingt-et-unième siècle. Les Digital Humanities défendent aussi un esprit participatif et collaboratif entre tous les acteurs du savoir numérisé en réseau, et entre toutes les branches du savoir : sciences humaines et sociales, arts et littéraure, sciences physiques et mathématiques, médecine et sciences de la vie, etc., mais également entre et avec tous ceux qui veulent apporter leur concours au développement des "humanités digitales", qu'ils soient ou non des spécialistes "académiques" (consacrés institutionnellement) de telle ou telle discipline universitaire, car les Digital Humanities rendent les savoirs de toute nature partageables et réappropriables par tous. Cf. site → Digital Humanities

 

 

 

Apprendre, philosopher, avec les outils numériques

 

 

De l'écriture sur tablettes d'argile aux tablettes tactiles numériques

 

Lorsque des innovations techniques majeures pour l’évolution culturelle, impactent le champ traditionnel de la connaissance et de la transmission des savoirs, il est habituel qu’elles soulèvent plus d’opposition et de résistance que l’acceptation enthousiaste, en particulier de la part des « lettrés » et des universitaires. L’histoire n’est pas nouvelle : l’invention de l’écriture sur des tablettes d'argile – en Mésopotamie vers 3400 ans avant notre ère, à la fin de la Préhistoire –, sans doute la plus puissante de toutes puisqu’elle rendit possible l’inscription durable et réutilisable à volonté d’informations de toute nature, ainsi que les opérations comptables, l’organisation et la gestion codifiée des sociétés et, plus généralement, la maîtrise planifiée de l’histoire humaine, fut dès l’Antiquité grecque la cible de critiques philosophiques virulentes, dans la mesure où elle bouleversa radicalement l’apprentissage des savoirs. La transmission orale, mémoire vive, dut céder le pas irréversiblement devant la transmission écrite, ce que Platon considérait dans le Phèdre (274d-275b) comme une offense au « vrai » savoir, celui qui fait révérence à la tradition orale, à l’ancestralité de la transmission verbale, plus proche de l’esprit de vérité que l’écrit qui, selon le philosophe athénien, rendrait l’être humain oublieux en encourageant la paresse intellectuelle. L’origine mythique de l’écriture exposée par Platon dans le Phèdre, rapporte celle-ci au dieu égyptien Theuth, inventeur des premiers caractères de l’écriture et des sciences qui reposent sur elle. Ce dernier défendit l’enseignement et la diffusion de l’écriture au nom de l’accroissement bénéfique du savoir par le développement de la mémoire artificielle de l’humanité. L’écriture apparaît donc – ce qu’elle est en réalité – comme une « technique objective » de la mémoire, une mnémotechnie efficace, qui permet de la faire s’accroître indéfiniment, à l’opposé (et indépendamment) de la faiblesse temporelle de la mémoire subjective. Or, lorsque Theuth présenta sa superbe et puissante invention au divin roi Thamous, celui-ci lui exprima son extrême méfiance à l’égard de l’écriture, car les hommes, par cette invention pour ainsi dire « diabolique », s’en remettront désormais à cette technique d’extériorisation de la pensée qui les dispensera d’activer leur vivante mémoire : l’écriture rendra peu à peu les hommes oublieux… [↑ Image ci-dessus : Caractères d'écriture cunéiforme sur tablette d'argile, vers 3400-3500 av. J.-C., Sumer, Mésopotamie.] 

 

Dix-neuf siècles après Platon, à la critique des présumés ravages provoqués par l’écriture manuscrite sur la mémoire vivante, succéda la critique de la typographie : l’impression mécanique des textes sur papier, au moyen de caractères mobiles, enlevait au geste appliqué du scribe ses ancestrales prérogatives. L’invention des folios imprimés recto-verso, vers le milieu du quinzième siècle, fut certes précédée du codex manuscrit, énorme progrès par rapport au volumen antique, puisque le codex introduisait la notion de « pages » distinctes, reliées entre elles mais séparées, à l’origine d’une lecture discontinue et sélective des textes ainsi que des images (enluminures, illustrations) qui les accompagnaient. Mais l’invention en Europe, par Johannes Gutenberg (vers 1400-1468), des techniques typographiques, notamment l’usage de caractères métalliques standardisés et mobiles (« types »), associé à l’impression xylographique des gravures – les Chinois avaient, cependant, inventé l’imprimerie à caractères mobiles dès le onzième siècle –, marquera une étape culturelle capitale vers la multiplication et la diffusion massive des connaissances (textes et images) et aussi de l’art littéraire ; d’ailleurs, l’invention du roman moderne, qui fit florès et ne cessa d’amplifier ses productions jusqu’à la surmultiplication que l’on connaît aujourd’hui, est l’une des conséquences majeures de l’invention des nouveaux codex typographiés.

[→ Image ci-contre : Chroniques de Nuremberg (Liber chronicarum, f 223r) par Hartmann Schedel. Incunable, 1493, Feuillet imprimé et illustré. Source : Wikipedia.]

 

À l’époque de Gutenberg, la mécanicité de l’impression et, surtout, la reproductibilité sérielle illimitée des livres, étaient jugées pernicieuses par les sectateurs de l’écriture manuscrite singulière des scribes du Moyen-Âge, au sein de leurs scriptoria. Car les incunables étaient principalement des ouvrages concernant la religion et la théologie ; ils étaient donc réputés susceptibles d’encourager la lecture critique individuelle, rationnelle et surtout comparative, donc potentiellement subversive, des Saintes Écritures. En outre, le livre imprimé à une grande quantité d’exemplaires autorise la diffusion des connaissances scientifiques dans le corps social, infiniment mieux que ne pouvaient – et que ne voulaient – le faire les rédacteurs de manuscrits réservés à une classe de privilégiés : des clercs (gens instruits, présumés « savants » ou « lettrés ») qui appartenaient en majorité au sérail ecclésiastique. Cette fonction culturelle collective était estimée comme le ferment le plus dangereux de la critique « instruite » des idées religieuses et des pouvoirs politiques. – Or, c’est à un ouragan culturel et philosophique comparable, mais beaucoup plus violent car plus global – mondial à terme, quand certains pays encore peu industrialisés auront rattrapé tout leur retard technologique –, que nous exposent depuis les années 1990-2000 les outils de mémorisation et de diffusion numériques des savoirs. Ordinateurs, tablettes-PC tactiles, liseuses numériques (« ebooks »), télévision numérique raccordée aux réseaux informationnels, et aussi téléphones multimédias reliés à l’Internet (« Smartphones »), sont autant de moyens technologiques de critique et de subversion cognitive des moyens traditionnels, scolaires et universitaires, d’acquisition, de diffusion et de transformation des savoirs, dans tous les domaines des sciences et de la culture. Ces domaines, au demeurant assez cloisonnés – surtout dans le système universitaire français –,  étaient jusqu’alors réservés en priorité aux bénéficiaires de l’instruction universitaire, aux « lettrés », aux spécialistes, … bref, aux experts de tout poil qui considéraient leur domaine d’étude et de recherche comme un « patrimoine » non divulgable sans une patiente initiation qui passait, généralement, par le luxuriant relais des livres imprimés qui alimentaient le commerce de l’édition.

[← Image ci-contre : Tablette tactile numérique. La page du blog mise en abyme.]

 

 

Compétences académiques contre savoirs métissés en réseau

 

Cette situation d’inégalité culturelle par laquelle était présumé « incompétent » celui qui n’avait pas réussi à obtenir les grades académiques, au terme des cursus orthodoxes des écoles, « grandes » ou petites, et des universités, avec pour socle de formation obligé le livre en papier et la linéarité de la lecture et des apprentissages, s’est propagée depuis l’invention de la typographie et la lecture linéaire des livres imprimés en série. La « présomption d’incompétence » : expression employée par Michel Serres qui a si intelligemment compris, depuis bien longtemps, les bouleversements révolutionnaires de l’enseignement scolaire et universitaire – hélas trop souvent conventionnel, passéiste ou calcifié –, apportés par le croisement multidimensionnel et le métissage inventif des champs intellectuels, favorisé par la mise en réseau des savoirs[1]. L’autorité intellectuelle traditionnelle (le mot « autorité » est déjà par lui-même suspect en matière de savoir et de compétence…) reposait sur le livre et sur ceux qui, officiellement – c’est-à-dire au nom d’un grade académique, d’un diplôme, d’un cursus, d’une institution universitaire, etc. –, s’en faisaient les simples porte-voix. Le temps des maîtres est révolu ; le rapport hiérarchique traditionnel entre apprenant et professeur se voit aujourd’hui radicalement bouleversé par le développement, inéluctable et salutaire à cet égard, des technologies numériques d’édition et de diffusion en réseau des savoirs. Qu’elles le souhaitent ou, au contraire, ne veuillent pas y succomber pour d’autres motifs que les seules pratiques gestionnaires et administratives, l’université et l’école devront s’adapter à ces technologies de l’information et de la communication, car les étudiants et les élèves, utilisateurs quotidiens aguerris de ces technologies, conduiront bon gré mal gré leurs enseignants – dont les fonctions et les missions seront à redéfinir intégralement – à réviser leurs méthodes et leurs sources pédagogiques en conséquence.

 

Constatons, au passage, qu’aucun gouvernement ou ministère français de l’éducation ou des universités, n’a été suffisamment clairvoyant et inventif, jusqu’à présent, pour accepter de prendre à bras le corps cette question de la transformation des métiers de l’enseignement sous l’influence des technologies informationnelles. Ainsi, les ordinateurs et le multimédia en réseau sont toujours fort peu utilisés, en général, comme de véritables outils pédagogiques « ouverts », susceptibles de remanier en profondeur non seulement les méthodes et les « contenus », c’est-à-dire les savoirs, mais aussi et surtout les rapports entre enseignants et enseignés, ces derniers étant depuis longtemps de plain-pied avec le monde des réseaux et du multimédia, pratique qui devrait logiquement conduire à une remise en cause de la transmission orale unidirectionnelle, et de l’ancienne fonction de « porte-voix », de faire-valoir des connaissances déposées dans les livres. L’enseignement et l’apprentissage de la philosophie en bénéficieraient d’ailleurs au tout premier plan – j’ai publié à ce sujet, en 1999, un essai (entièrement d’actualité) qui examinait en détail les tenants et aboutissants de la philosophie universitaire confrontée aux technologies numériques, intitulé Philosophie et Société de l’information[2], bien avant d’ailleurs que les philosophes universitaires n’aient commencé à prendre conscience sérieusement de l’impact pédagogique révolutionnaire, à long terme, des technologies de l’information et de l’Internet. Pour s’inventer, la philosophie doit aussi accepter de se métisser, de se croiser de manière multidirectionnelle, dynamique, avec toutes les sortes de savoirs, mais aussi de pseudo ou simili-savoirs. – Quels sont donc, en bref, les renversements de points de vue engendrés ou encouragés par ces technologies informationnelles ?

 

La possibilité d’accéder rapidement à une énorme quantité d’informations, en croissance continue, par l’hyper-réseau mondial qu’est l’Internet, et par les outils les plus quotidiens – notamment les téléphones portables, les tablettes tactiles et les ordinateurs –, apparaît souvent comme un handicap aux yeux de la philosophie universitaire académique. Elle n’y voit, en effet, que l’occasion d’acquérir un pseudo-savoir d’ordre strictement cumulatif, sans aucun rapport avec un authentique savoir constitué, et cette perspective consternante lui procure une angoisse incoercible, qui s’ajoute à l’inquiétude, généralement partagée, relative aux problèmes que connaît l’enseignement de la philosophie sous sa forme traditionnelle, essentiellement « universalisante », appuyée sur les grands thèmes de l’histoire de la philosophie occidentale. Car, si les programmes de philosophie de la classe terminale des lycées ne sont pas du tout inféodés à l’histoire des doctrines, s’ils sont même présentés essentiellement comme des listes de thèmes et de notions indépendants de l’histoire des doctrines, il n’empêche qu’ils sont inspirés en majorité de concepts et de champs thématiques qui ont été abondamment débattus par les philosophes consacrés, depuis Platon[3]. C’est pourquoi, bien que l’histoire de la philosophie en tant qu’enseignement distinct y soit devenue minoritaire, elle est en réalité omniprésente au sein même de la pensée autoconstitutive du professeur de philosophie dans sa classe, lequel endosse, pour ainsi dire, la démarche idéalisante de ses illustres devanciers.

 

Le reproche adressé à l’Internet concernant le soi-disant « trop-plein » d’information, concomitant de l’absence totale de savoir, recouvre en réalité une difficulté majeure de l’esprit de l’enseignement philosophique français : son impuissance à utiliser les informations multimédiatiques autrement qu’à titre de connaissances ponctuelles, sans lien entre elles, incohérentes et parfois incertaines, car leur source, à juste titre d’ailleurs en certains cas, est suspectée d’être sujette à caution. Dans ces conditions, comment la réflexion philosophique pourrait-elle en faire un usage profitable et pertinent ? La cause des technologies informationnelles dans l’enseignement philosophique paraît en somme perdue d’avance. Sans parler des craintes de subversion de la singularité inaliénable de l’être humain, sous l’effet de l’uniformisation des technologies numériques qui sont le moyen obligé de la diffusion massive de l’information, réduite aux chiffres binaires (0 et 1) du langage booléen. De la réduction binaire de l’information à la normalisation identitaire de l’individu, il n’y a qu’un pas vite franchi par l’imagination pessimiste du philosophe allergique à l’introduction de la « société de l’information » dans l’enceinte de l’école et de l’université.

 

Pourtant, les arguments pusillanimes qui voudraient faire croire à l’indignité de l’Internet utilisé dans le cadre des recherches et des enseignements philosophiques universitaires, oublient que la sphère philosophique tout entière se nourrit de l’information extra­philosophique depuis ses origines. La conceptualisation est toujours un aboutissement, jamais un commencement, sauf à vouloir restreindre le champ de la pensée philosophique à une sorte de cercle fermé au sein duquel les concepts se feraient écho entre eux, à la manière d’une boucle récursive purement rhétorique et donc parfaitement stérile. Ces arguments omettent, en particulier, que le pouvoir critique de la réflexion philosophique démystifiante ne peut s’exercer que sur le terreau de l’information extérieure au champ institutionnel de la philosophie, et qu’il faut d’abord mettre en ordre l’information inhomogène, complexe, pour aboutir à une forme de spéculation désintéressée mais en incidence sur le réel, car le « réel », pour le philosophe autant que pour n’importe quel individu doué d’intelligence et de sensibilité, c’est inéluctablement le réel déjà exprimé par les mots, les images, les sons. C’est donc un réel qui se présente à l’état d’information.

 

Se plaindre de l’inflation anarchique, de l’incoordination et de l’hétérogénéité des données informationnelles qui circulent sur l’hyper-réseau mondial, sans chercher à s’en emparer, revient tout bonnement à laisser régner la peur irraisonnée de la prétendue tyrannie de l’informatisation universelle et subversive de l’information, qui nierait la liberté de penser et soumettrait l’individu à l’emprise de la désinformation. On peut craindre aussi, selon un point de vue cognitif, que l’excès d’information n’engendre plus que du « bruit » au sens de la théorie mathématique de l’information, c’est-à-dire une sorte de magma entropique de données désordonnées, mal déchiffrables et inexploitables, inaptes à produire du savoir. Aussi la solution courageuse que sera amenée à adopter la réflexion philosophique afin de neutraliser cette méfiance excessive à l’égard de l’univers informationnel, en luttant aussi bien contre la surinformation qui assourdit — car purement entropique — que contre la désinformation mystificatrice, mais aussi pour sortir du ghetto de l’autoréférence conceptuelle, c’est bien celle de « l’adaptation » critique à tous les types de contenus véhiculés sur l’Internet.

 

Vers une philosophie fractaliste hypermédiatique

 

La méthode philanalytique transdisciplinaire est fort heureuse­ment plus ambitieuse que cela. Il s’agit, bien plutôt, de se servir sélectivement de fragments documentaires en tout genre – textes, images, séquences sonores, documents audiovisuels –, éventuel­lement classés sur l’Internet dans des rubriques informationnelles hétérogènes, évalués sans complaisance et choisis pour leur pertinence spécifique en vertu de critères analytiques déterminés par le projet philosophique. En revanche, un certain empirisme provisoire, raisonné cas par cas, lié à la conduite de recherche discriminante de l’information, fait partie de cet esprit de critique heuristique trans­disciplinaire, puisqu’il n’est plus enchaîné d’avance à un type de document consacré et officialisé par la tradition de l’enseignement philosophique, comme c’était en grande partie le cas pour les seuls textes de l’histoire de la philosophie, lesquels ne seraient d’ailleurs nullement éliminés, mais examinés sous la « loupe » de l’analyse de contenu, une analyse comparative, beaucoup plus extensive que l’analyse seulement interne qui en était faite jusqu’alors le plus souvent. Rien n’empêchera, selon cette méthode élargie, de les mettre en perspective avec des textes et des données disparates, hétérogènes, qui pourront appartenir à des champs d’étude contemporains étrangers au domaine institutionnel de la philosophie et de son histoire consacrée, pourvu que l’objectif de la réflexion philanalytique s’en trouve réalisé et si possible enrichi par ces confrontations et croisements documentaires, inhabituels dans l’enseignement scolaire et universitaire de la discipline.

 

La méthode critique administrée aux données informationnelles de l’univers multimédiatique se veut une méthode pluraliste, régie par le principe semi-empirique d’hybridation conceptuelle des données, mais néanmoins orientée rationnellement par l’analyse de contenu multicritère, qui se définit comme un ensemble diversifié de méthodes heuristiques adaptées, selon les contextes et les objectifs de l’analyse, aux divers types de situations informationnelles rencontrées par le philanalyste de l’information textuelle ou multimédiatique. Le terme « hybridation » ne détient par conséquent aucune connotation péjorative en ce contexte. Il prétend répondre, au contraire, à la diversité des connaissances – certes parfois plus ou moins assurées et inhomogènes – apportées par l’univers foisonnant de l’information qui mixte les champs les plus étrangers les uns aux autres, à la manière d’un puzzle mouvant aux dimensions infinies. Or, le philosophe répugne habituellement à hybrider les domaines hétérogènes du savoir ; il préfère l’idéale homogénéité du concept qui aplanit les aspérités de notre rapport cognitif chaotique, instable et incertain, rhizomique, par capillarité, en un mot : fractal, au monde dont nous faisons partie. La philanalyse critique de l’univers informationnel constitue, probablement, l’un des meilleurs moyens de désenclaver l’institution philosophique, de la faire sortir d’elle-même tout en lui donnant un nouveau ressort, car elle s’instaure grâce à la médiation informationnelle, sans bien entendu s’y réduire. La cyberculture développée par l’utilisation habituelle de l’Internet et des réseaux de données en ligne, se caractérise en premier lieu, en son mode de fonctionnement, par le système de consultation hypertextuel des données informationnelles.

 

Les hyperliens (ainsi dénommés par analogie avec le terme « hypertexte », inventé en 1965 par le documentaliste-informaticien américain Ted Nelson, auteur d’un très ambitieux projet de bibliothèque informatique) et l’hyperdocumentation (ensemble ouvert des documents multimédias numérisés auxquels accède le consultant par l’hypertextualité) renvoient les uns aux autres en une complexité arborescente disparate, polyphonique et bigarrée, indéfiniment ouverte et sans fond, de « pages-fichiers » numériques. Par la comparaison des données selon la méthode arborescente de l’hypertexte, l’utilisateur de ressources en ligne crée indéfiniment de nouvelles relations entre ces données. À la culture linéaire de la tradition livresque se substitue une culture croisée en réseau, au maillage dense et omnidirectionnel, à une infinité d’entrées, qui est seule capable d’ouvrir l’intelligence au monde du savoir métissé et hybridé que les technologies de l’information permettent de mettre en œuvre. Wikipédia, Twitter et les flux RSS, agrégateurs d’hyperliens[4] – comme d’autres types de réseaux sociaux fédérateurs d’intérêts, à l’instar de Facebook –, les blogs, les sites, les bases de données multimédias, les forums spécialisés (les « newsgroups » de Usenet), etc., fédérateurs de savoirs inachevés, comparatifs et collaboratifs, sont les nouveaux « livres » ouverts, en réorganisation permanente, des savoirs modernes auxquels la philosophie universitaire ne peut manquer de se confronter et surtout de participer, de collaborer.

 

La culture philosophique classique visait l’établissement d’un savoir totalisant, fondé sur les certitudes de l’universalisme conceptuel qui servait à résorber en son sein n’importe quelle espèce de contenu d’information, « vulgaire » ou bien hypostasié par la tradition historique de la philosophie académique. Au contraire, la culture philosophique « hypermédiatique » ou « hypertextuelle » qui accepte de se placer en interférence active avec la cyberculture, reconnaît à l’exemple documentaire la valeur référentielle primordiale – bien qu’hétéroclite et toujours fragmentaire – à partir de quoi peut se construire une pensée en voie de cohésion progressive, mais provisoire, en mutation potentielle, à la mesure de ce nouvel « universel » sans totalisation ni systématisation rationnelle possibles, qu’envisageait et défendait, à la fin du vingtième siècle, le philosophe Pierre Lévy : « la cyberculture exprime la montée d’un nouvel universel, différent des formes culturelles qui l’ont précédé en ce qu’il se construit sur l’indétermination d’un quelconque sens global.[5] » Sans nier la valeur compréhensive de la conceptualisation, la philosophie ainsi conçue en son apprentissage et son enseignement aurait pour mission d’intégrer en son discours le dissemblable, l’hétéroclite et le disparate informationnel, sous forme de synthèses argumentatives replaçant chaque information ou groupe d’informations (textes, images et/ou documents sonores) sous le projecteur de l’analyse croisée des contenus, afin de pouvoir les comparer, les recouper, les hybrider, les mettre en concurrence avec toute autre information qui serait susceptible de leur procurer, par cet exercice de mise en corrélation, une signification plus complète et qualitativement plus « universelle », ce terme ne signifiant plus du tout un quelconque rapport à l’universalité conceptuelle humaniste, totalisante et éterniste d’antan, mais une recherche permanente et inachevée de signification multidimensionnelle, pour ainsi dire en transhumance philosophique.

 

En guise de pseudo-conclusion – conclure (fermer, achever) serait forcément contradictoire pour la pensée de la culture informationnelle –, laissons la parole à Michel Serres, dont les réflexions sur l’éducation en mutation de l’ère numérique pourraient être choisies, préférentiellement, comme la « feuille de route » la plus stimulante des apprentis-philosophes du vingt-et-unième siècle : « Ceux dont l’œuvre défie tout classement et qui sèment à tout vent fécondent l’inventivité, alors que les méthodes pseudo-rationnelles n’ont jamais servi de rien. Comment redessiner la page ? En oubliant l’ordre des raisons, ordre certes, mais sans raison. Il faut changer de raison. Le seul acte intellectuel authentique, c’est l’invention. Préférons donc le labyrinthe des puces électroniques.[6] »

 

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 © Jean-Claude Chirollet

 

 

 

 

 

 

Il existe plusieurs dizaines ou centaines de milliers d'articles et de livres concernant la théorie des fractals – sans compter les sites Internet –, écrits en toutes langues depuis les années 1970, dont un très grand nombre en anglais. Beaucoup de ces ouvrages ou articles scientifiques sont d'un niveau ultra-spécialisé, intégralement « lisibles » par seulement quelques centaines (voire moins) de mathématiciens et docteurs en mathématique dans le monde entier. D'autres, inversement, sont de la vulgarisation illustrée,

compréhensible par tout individu non-mathématicien, mais intéressé cependant par certaines applications artistiques ou infographiques de ces questions. Les articles de mon blog concernant le rapport entre la science des objets fractals et l'art fractal, se situent entre la simple vulgarisation illustrée, qui ne prétendrait à rien d'autre qu'à distraire par la beauté intrinsèque des figures informatiques, et le discours purement scientifique qui n'aurait d'autre intention que celle d'exposer, de manière étendue et rigoureuse, la théorie mathématique de ces questions très complexes qui se rapportent à la géométrie des objets fractals.

  

→ Il est conseillé de renforcer la luminosité de l'écran, afin de révéler plus nettement les détails des images fractales, obtenues au moyen de générateurs mathématiques.

 

 

 

La science des « objets fractals », objets mathématiques spécifiques de la géométrie non-euclidienne, inventée par le mathématicien Benoît Mandelbrot (1924-2010) dès les années 1960, a été mise à l’honneur de la littérature scientifique en 1975 dans son livre fondamental, Les Objets fractals – Forme, hasard et dimension. Cette géométrie qui s’applique aux formes irrégulières de la nature complexe, autant qu’aux figures de la mathématique pure dans le plan complexe sur 360 degrés décimaux [→ Cf. image ci-contre], ou aussi dans l'espace 3D, a servi de base de réflexion et de création aux artistes du mouvement fractaliste international depuis les années 1980, quel que soit le domaine particulier de leurs investigations artistiques respectives (arts plastiques, arts numériques, photographie, musique, voire théâtre et littérature).

 

Le courant artistique fractaliste regroupe la multiplicité des créations, extrêmement variées, d’artistes de différentes nationalités – Européens, Japonais, Américains –, qui ont fondé leur activité créatrice sur la référence à la théorie physico-mathématique de la complexité stochastique (c’est-à-dire aléatoire ou semi-aléaoire) des systèmes dynamiques. Or, la théorie des systèmes dynamiques, lesquels détiennent parfois une capacité « d’auto-organisation », s’édifia substantiellement au sein de la communauté scientifique internationale au cours des années 1970.

 

Pour le discours scientifique, la notion de complexité stochastique (ou aléatoire) implique l’idée de processus dynamiques indéterministes ou plus exactement semi-déterministes, non descriptibles par les lois ordinaires de la continuité mathématique, et par conséquent imprédictibles à long terme. Cette impossibilité de prédire leur comportement à long terme est due au fait qu’ils sont capables de s’auto-réorganiser indéfiniment de manière nouvelle au cours du temps, bien que certains systèmes auto-organisants soient, dans certains cas, quasi-prédictibles (séquence cyclique; trajectoire approchée mais globalement prédictible; etc.). Pour cette raison, ils sont donc supposés être gouvernés « objectivement » (réellement) par les seules lois du hasard. Biologistes, météorologues, sociologues, économistes, physiciens, chimistes et, bien sûr, mathématiciens, ont recours fréquemment aux « lois du hasard » pour tenter de comprendre par approximation la complexité des phénomènes imprédictibles qu’ils étudient.

 

En résumé, une complexité stochastique (ou aléatoire) implique effectivement des processus indéterministes, gouvernés intrinsèquement par les lois du hasard. Le grand apport des théories de la complexité a été de révéler l’existence de phénomènes simultanément déterministes et imprédictibles. Précisons enfin que les fractales mathématiques, dans cet univers complexe et imprédictible, représentent seulement l’un des aspects de ces lois du hasard, et non la seule forme qu’elles peuvent adopter.

 

Corrélativement, les artistes fractalistes admettent, au moins implicitement, pour modèle conceptuel présidant à la philosophie esthétique de leur entreprise créatrice, l’édifice mathématique de la géométrie fractale, formalisée par le mathématicien-informaticien Benoît Mandelbrot dans les années 1960-1970. La géométrie fractale permet, précisément, de caractériser quantitativement certaines propriétés géométriques propres à la représentation formelle des systèmes dynamiques. Le terme « fractal », utilisé comme substantif ou comme qualificatif, est par conséquent d’origine strictement scientifique, puisqu’il appartient au vocabulaire de la géométrie des phénomènes naturels – macroscopiques ou microscopiques –, infiniment irréguliers et imprévisibles en leurs détails à toute échelle d’observation. Le langage de la géométrie contemporaine dénomme donc « objet fractal » (ou plus brièvement « fractal ») une configuration spatiale à dimension non entière, qui « s’étend » dans un espace de dimension entière immédiatement supérieure, et cet espace peut posséder n’importe quel nombre de dimensions (1, 2, 3 ou n quelconque).

 

Cette configuration discontinue, soit apparemment très ordonnée et symétrique par changement d’échelle – par exemple, la courbe dite « flocon de neige de Von Koch », et la « courbe remplissante » de Peano, qui sont auto-identiques (scalantes) à toute échelle de grandeur –, soit très irrégulière et dissymétrique comme les côtes d’un littoral ou les contours d’un nuage, peut être caractérisée, quelle que soit l’échelle d’examen employée, par un degré d’irrégularité statistique variable que la géométrie euclidienne ordinaire ne peut mesurer et dont elle ne sait pas rendre compte de manière satisfaisante. Ce qui signifie qu’un objet fractal peut être extrêmement irrégulier, mais que ce n’est pas une condition nécessaire pour en faire un objet fractal, tandis que la mesure géométrique qui en rend compte dépend toujours de l’échelle d’examen adoptée.

 

À l'origine des pratiques artistiques revendiquant une appartenance esthétique fractaliste se situe donc l'étude mathématique des formes infiniment irrégulières dans leurs moindres détails, brisées, rompues et morcelées en chacune de leurs parcelles, donc essentiellement discontinues (le participe passé latin « fractus » résume ces acceptions qui convergent vers l'idée de moudre, de broyer et de fracturer). Le néologisme « fractal », créé par le mathématicien Benoît Mandelbrot dans la première édition française de son livre célèbre : Les Objets fractals - Forme, hasard et dimension (1^è éd. 1975; 4^è éd. revue, 1995, Paris, Flammarion), incluait également l'abandon du concept mathématique traditionnel de symétrie spatiale, liée à la géométrie euclidienne, au profit d'un autre type d'organisation régissant de manière complexe les éléments d'une configuration spatiale irrégulière en toutes ses composantes. Ce nouvel « ordre fractal » était défini en termes strictement mathématiques comme un indice algébrique d'irrégularité morphologique : la dimension fractale, nombre absolu ne désignant pas une mesure de grandeur mais une mesure de la complexité formelle des configurations planes ou tridimensionnelles. [→ Image ci-dessus : Coupe fractale en 3D obtenue à partir d'un zoom numérique sur une mini-zone de l'ensemble de Mandelbrot calculé en 3D, dit "Mandelbulb".]

 

Quelles formes peuvent être considérées comme infiniment irrégulières et discontinues ? Les exemples puisés dans la nature sont omniprésents et la physique découvre qu'ils sont en extension continuelle. La structure des nuages en mouvement, la forme des montagnes, l'organisation d'un ciel étoilé, l'univers infini des galaxies, tout comme une simple feuille de châtaignier, un morceau de rocher, un fragment de métal ou une cellule biologique, humaine, animale ou végétale, sont affectés d'innombrables zones d'irrégularité en fonction des niveaux d'observation auxquels on les soumet. Le mérite de la géométrie fractale est précisément d'avoir permis de caractériser ces degrés ou niveaux d'irrégularité relative qui signent l'hétérogénéité morphostructurale de la matière et de l'univers tout entier.

 

Ce sont les échelles d'examen de l'objet, naturel ou géométrique, qui définissent les degrés variables de discontinuité. Le thème, bien connu en physique théorique (mécanique quantique), de l'interrelation opératoire de l'observateur avec l'objet observé, s'affirme en ce domaine mathématique comme le motif primordial de la détermination de la dimension fractale. Il existe une analogie entre les positions des observateurs en géométrie fractale et en mécanique quantique : dans les deux cas, la présence de l’observateur modifie le résultat de l’expérience en cours. Cependant, pour conserver la justesse du raisonnement, il convient de préciser que l’analogie s’arrête là : en mécanique quantique, c’est la présence même de l’observateur et de ses instruments de mesure, comme éléments de la réalité physique, qui constitue le facteur de perturbation. Dans le cas des objets fractals, le résultat est modifié selon le point de vue que l’observateur choisit de prendre : le niveau  d’échelle mésoscopique auquel il s’arrête. Les deux situations sont, pour cette raison, très différentes, et mènent donc à deux modèles du monde très différents.

 

Du point de vue fractaliste, les objets de la nature, observés à grande distance, peuvent apparaître globalement comme des formes simples, régulières, descriptibles au moyen des catégories de la traditionnelle géométrie euclidienne : des points (de dimension 0), des lignes (de dimension 1), des surfaces ou plans (de dimension 2), des solides (de dimensions 3), des cercles, des triangles, des parallélépipèdes, des sphères, des cônes, des cylindres, des polyèdres, et toute combinaison de ces formes élémentaires primitives. Pourtant, observées de plus près, ces formes naturelles deviennent plus compliquées, moins linéaires, moins « euclidiennes »; elles présentent des contours brisés et des structures surfaciques ramifiées, enchevêtrées. Si le niveau d'observation, toujours plus exigeant, continue de s'affiner par l'intermédiaire de la loupe et du microscope, le moindre détail apparaît alors comme une myriade de détails plus fins et toujours plus riches de microformes, elles-mêmes saturées à l'infini de microformes gigognes hyper-détaillées aux apparences nouvelles.

 

Bien entendu, le fractal dans la nature ne « passe pas » à l’infini. Il existe un niveau d’échelle limite dans la nature à cet aspect fractal : celui-ci s’éteint au moment où l’autosimilarité cesse. Pour un objet comme un rocher, elle cesse lorsque l’on passe au niveau des molécules, qui n’ont aucune autosimilarité formelle avec le rocher lui-même.  Le qualificatif « fractal » ne saurait donc être employé comme synonyme de « décomposable à l’infini », terminologie qui relève plus de l’acception « perceptuelle » du terme, que de son acception scientifique proprement dite.

 

Mathématiquement, le corollaire de l'affinement de l'échelle d'observation réside dans le fait qu'aucune symétrie euclidienne connue n'est détectable en chaque fragment étudié. Les multiples niveaux mésoscopiques de la description, virtuellement infinis, ne semblent plus pouvoir être mis en corrélation hiérarchique continue, de même que les lois de la symétrie qui caractérisent généralement un objet dans sa totalité ne semblent plus pouvoir se révéler à travers les parcellisations de l'ensemble primitif. Tout fragment se manifeste comme une nouvelle totalité, en apparence (c’est-à-dire selon le point de vue adopté) étrangère morphographiquement à l'ensemble dont est extrait le détail.

 

Mais un même ensemble fractal recèle en tous ses détails une parenté structurale définie par son unique mesure dimensionnelle. La loi d'unité morphologique reliant l’ensemble fractal choisi par « l’observateur » et ses parties n’est donc aucunement frappée de caducité, bien que l’aspect perceptuel de ces détails soit toujours différencié et indéfiniment varié, sous l’effet du jeu systématique des variations d'échelles d'examen.

 

Dans la nature physique, cependant, les niveaux d’observation ne sont pas infinis, à la différence d’un fractal mathématique, abstraction géométrique sans contrepartie dans le réel. Les physiciens et mathématiciens distinguent, parmi les objets naturels ou géométriques, les multifractals (ou hyperfractals), c'est-à-dire les objets fractals statistiquement autosimilaires — qui comportent donc des différences de détail morphologique entre eux, éventuellement à un iota près ou bien à une transformation topologique près —, des fractals simples ou scalants, c'est-à-dire purement déterministes, strictement auto-identiques :

objets fractals géométriques dont la structure formelle demeure rigoureusement identique, par réplication à toute échelle de grandeur (propriété d'autosimilitude à ne pas confondre avec celle d'autosimilarité des fractals aléatoires ou semi-déterministes).

 

Les fractals purement déterministes sont régis par une loi dite d'homothétie interne. On dit aussi

que ces fractals géométriques sont « scalants » car ils résultent les uns des autres, par transformations affines en cascade ad infinitum, sur le modèle du célèbre « flocon de neige » fractal du mathématicien suédois Helge Von Koch (1870-1924), parmi une infinité d’autres modèles possibles – notamment la fameuse « courbe remplissante » du mathématicien italien Giuseppe Peano (1858-1932), ou encore, parmi les fractals géométriques les plus connus, le tapis fractal du mathématicien polonais Waclaw Sierpinski (1882-1969).

 

Citons enfin, pour le plaisir de la méditation, ce beau passage écrit en 1980 par le philosophe Michel Serres faisant l’éloge de la géométrie fractale qui nous apprend à regarder le monde visible sans a priori conceptuel, sans idéalisation préconçue : « Sortons, laissons-nous conduire par Benoît Mandelbrot. Le monde terraqué nous revient, grâce à lui, par immenses morceaux, le vent, l’océan, le rivage. Ce sera bientôt la fête du monde ou le retour de l’oublié. [...] Voici le retour des éponges, naguère méprisées. » (Michel Serres, Hermès V – Le Passage du Nord-Ouest, Paris, Éd. de Minuit, 1980, p. 101 et p. 103). [Le qualificatif « terraqué » est un terme ancien qui signifie : composé de terre et d'eau, en parlant du globe terrestre.]

 

                                                     

© Jean-Claude Chirollet

 

 

[Texte adapté de mon article : L’approche de l’art d’un point de vue fractaliste, Jean-Claude Chirollet, revue Tangence, numéro 69, été 2002, Université du Québec, p. 103-132. — Cf. le lien PDF ci-dessous vers l'article intégral en ligne.  

 Tangence 69_2002

 

Cf. également :

- Jean-Claude Chirollet, Art fractaliste. La complexité du regard, Éditions L’Harmattan, collection Champs Visuels, Paris, 2005 (269 pages, 62 illustrations artistiques).

- Jean-Claude Chirollet, La question du détail et l'art fractal (à bâtons rompus avec Carlos Ginzburg), Éditions L’Harmattan, collection Histoires et idées des Arts, Paris, 2011 (278 pages, 15 illustrations artistiques).

 

 

 

 

Le texte ci-dessous concerne exclusivement les images fractales numériques (Fractales), générées au moyen d’algorithmes informatiques déterministes . L'écriture « Fractales » (au féminin, avec une lettre majuscule) est destinée à les distinguer à la fois des objets fractals purement mathématiques étudiés par le mathématicien, et des phénomènes naturels chaotiques étudiés par le physicien.

 

→ Il est conseillé de renforcer la luminosité de l'écran, afin de révéler plus nettement les détails des images fractales, obtenues au moyen de générateurs mathématiques.

 

 

 

Les Fractales numériques « fonctionnent » comme de véritables organismes logico-­informatiques, avec leur « vie » algébrique et géométrique propre, obéis­sant à une évolution typiquement chaotique, bien qu’elles soient, en leur principe, engendrées de manière déterministe (par des équations algébriques). D’où leur relative imprévisibi­lité morphologique qui les rend si curieuses, si captivantes pour le spec­tateur contemplant le renouvellement permanent des formes en couleurs sur l’écran vidéographique, fourmillement complexe dont la photographie instantanée ne peut que fournir une coupe arbitraire, mais différente de toutes celles qui ont précédé, aussi bien que de toutes celles qui suivront.

 

Une Fractale, c’est avant tout une forme dynamique en continuelle formation, en 2D dans le plan complexe, ou en coupe 3D créée à partir de quaternions dans l'espace complexe. [→ Image ci-contre : détail de fractale de Mandelbrot vue en coupe 3D – dite "Mandelbulb" –, créée à partir de quaternions. Cf. → Site Mandelbulb.] C’est un organisme qui se crée et se recrée continuellement, dans un renouveau de chaque fraction de seconde, à toute échelle, en tout point du plan complexe, en tout instant. Les similarités formelles ne sont jamais que localisées, ponc­tuelles ; mais similarité ne signifie pas identité d’une échelle à l’autre (pour une zone très étroite du plan), mais toujours différence absolue malgré une ressemblance formelle globale. Benoît Mandelbrot a expliqué une dif­férence très nette entre les Fractales linéaires, régies par le principe d’homo­thétie interne qui conserve la même forme quelle que soit l’échelle d’observation (le « flocon de neige » de Von Koch par exemple), et les Fractales non linéai­res, qui sont le résultat de la mise en œuvre d’un algorithme récursif, générateur de trajectoires chaotiques dans le plan ou l’espace complexe. Dans le cas des Fractales non linéaires autoréférentielles, il ne saurait exister deux zones spatiales strictement identiques, bien que des ressemblances d’ensemble soient observables à différentes échelles successives, pour une petite parcelle du plan, étudiée à des échelles de plus en plus grandes.

 

1. La métaphore de l’ontogenèse et du code génétique

 

Le processus de variation d’échelle d’exploration est essentiel dans l’émergence électronique des Fractales. Il est même la source fondamen­tale de la métaphore biologique consistant à comparer la fractalité dyna­mique de l’image et l’ontogenèse d’un être vivant à partir de son poten­tiel génétique. Car cette comparaison est très fréquemment employée par les créateurs d’images fractales, mathématiciens aussi bien que plasticiens d’ailleurs.

 

Tout d’abord, il faut rappeler que la spécificité de ces images électro­niques (non réalisables à la main, car la moindre de ces belles figures complexes prendrait, selon l’expression de Mandelbrot, plusieurs centai­nes d’années pour être créée manuellement...) réside, précisément, dans le changement d’échelle généralisé et incessant, chaque variation d’échelle faisant surgir de nouveaux phénomènes visuels et de nouveaux types de trajectoires dans le plan. La récurrence fonctionnelle exerce à toute échelle d’exploration sa puissance de création de nouvelles formes imprévisibles et luxuriantes à l’infini. Des zooms dont le facteur d’échelle est très élevé peuvent être réalisés grâce à de puissants ordinateurs graphiques. Avec l’aide de ces moyens logiciels, on obtient des facteurs d’échelle extrêmement importants. Une cascade de détails est ainsi engendrée, avec également des effets de relief et de protubérances, ou des effets de voile vaporeux, diaphanes, de semi-transparence, avec des nuances chromatiques subtiles, mêlant pseudo-continuité des lignes et multiplication de nuances diamorphiques (comme la fractale dynamique ci-dessus).

 

Il demeure cependant évident que les couples (a,b) de nombres réels défi­nissant les points du plan dans un repère orthonormé, sont théoriquement infiniment denses et inépuisables en fait, tout comme le sont les points géométriques d’une ligne droite ou courbe, aussi courte soit-elle. Mais les variations d’échelles d’exploration topographique permettent, pour une micro-zone précise, de rétablir une sorte de continuité morphologique des formes. En passant par des échelles microscopiques de plus en plus fines, les détails inexplorés antérieurement se révèlent jusqu’à leur finesse maxi­male pour une échelle donnée.

 

Comme dans un organisme vivant, à toute échelle se révèlent des détails morphologiques reliés à l’ensemble de cet « organisme » qu’est l’image en restructuration continue ; mais ces détails offrent également l’aspect de rup­tures, de discontinuités associées à des transitions, elles-mêmes fonction de l’échelle d’observation. De l’ensemble apparent du corps humain aux ultimes composants cellulaires, en passant par les fibres intermédiaires de la matière vivante, toutes les échelles d’exploration offrent de nouveaux spectacles de la nature humaine. Il en est de même pour les images fractales : les zoom en cascade, qui n’équivalent absolument pas à de simples agrandissements photographiques homothétiques puisqu’il faut recalculer inté­gralement l’image, engendrent d’étranges figures éternellement « intermédiaires ». En effet, tantôt l’on visualise des figures connexes, tantôt émer­gent de cette connexité des figures en poussière de points, ou encore des configurations incertaines, à la fois connexes et discontinues. La « loupe fractale » devient, selon l’expression de James Gleick dans son ouvrage La Théorie du Chaos, « un moyen de voir l’infini » (James Gleick, La Théorie du Chaos, éditions Albin Michel, Paris, 1989, p. 132).

 

Les créateurs de Fractales ont attribué des noms poétiques à ces figu­res extrêmement complexes et curieuses, remplies de détails enchevêtrés à l’infini au gré des échelles progressives d’exploration. Ces noms sont évocateurs de formes naturelles, végétales, géologiques ou animales. Ils parlent de vrilles, de galaxies, de spirales vers l’infini des profondeurs abyssales, d’oursins, d’hippocampes (« la Vallée des hippocampes »...), de nains grotesques, de gnomes, de créatures fantastiques, de paons, de scep­tres, de végétation luxuriante, de montagnes enchantées et de vallées ima­ginaires, de tourbillons effrénés, infernaux, et de fleuves tortueux, de cyclo­nes et de mers de coraux, d’îles et d’oasis, de marée et d’anneaux de Saturne, etc.

 

L’infinité des différences chromatiques et formelles résulte donc en prio­rité des variations scalaires qui sont pour ainsi dire la clé méthodologique amplificatrice de la récursion fonctionnelle. La récursion équivaut à une sorte de croissance ou de développement biogénétique des formes, tandis que la variation scalaire équivaut à des paliers, des stades ou des étapes de ce développement biologique illimité. La comparaison morphogénéti­que est d’ailleurs fréquemment évoquée par les créateurs de Fractales, voyant dans la métaphore du développement morphogénétique un principe de compréhension culturelle du « phénomène-fractalité ». L’originalité mor­phologique des images en chaque fraction de seconde du calcul itératif est l’équivalent du processus de différenciation biologique des organismes vivants au cours de leur croissance. Elle signe en même temps l’unicité absolue dans l’histoire de la création des formes, de l’originalité individuelle irréductible. Jamais deux Fracta­les strictement identiques en deux moments distincts du temps de calcul itératif, ne peuvent émerger de « l’alchimie » algorithmique.

 

Le discours métaphorique sur la création autoréférentielle des Fracta­les s’inscrit simultanément dans le domaine du vocabulaire histologique (la structure « tissulaire » en continuelle transition fractale, comprise entre 0 et 3 inclus) et dans le domaine généti­que. À cet égard, il est révélateur de la puissance onirique de ces images en restructuration continue, que scientifiques et artistes évoquent conjoin­tement l’idée du « code génétique » en parlant du développement indéfini du programme itératif de l’ordinateur. Les ensembles de Mandelbrot et de Julia (les plus connus parmi les ensembles fractals) sont comparés par leurs auteurs (en premier lieu par Mandelbrot lui-même) à des sculptures en modification continuelle. Des sortes de corps humains ou animaux en état de transition permanente, en somme.

 

Un expérimentateur d’images fractales, aussi esthète et poète que Jef­frey Ventrella (de l’Université de Syracuse, USA), considérait vers la fin des années 1980 qu’il engen­drait des créatures étranges en trois dimensions et en série évolutive de sur­croît, qui forment une véritable zoomorphologie dans le plan complexe. L’itération dans le plan complexe de la formule quadratique de base: (z² + c) → z, formule dans laquelle les paramètres littéraux z et c représentent des expressions complexes habituelles (en algèbre des nombres complexes), du type z ou c = a + ib (où i² = −1), cisèle à loisir des anatomies complexes et infiniment riches, aux innombrables facettes. Les fonctions fractales, par définition autorécursives ou autoréfé­rentielles, représentent un « code génétique » semblable à celui recelé par une spirale de molécules d’ADN.

 

Ainsi s’exprimait Jef­frey Ventrella à ce sujet, à la fin des années 1980 : « En explorant les mécanismes intérieurs d’une fonction et en décou­vrant des changements intéressants, on a l’impression de démêler la spi­rale d’ADN. Ceci est pour moi une des possibilités de la « biogénétique abstraite » […] Peter Oppenheimer du New York Institute of Technology et d’autres, ont comparé l’art fractal à la création biologique. » (in revue d’infographie Tech Image, numéro 4, janvier 1989, Paris, p. 19-20).

 

Ce langage pourrait, de prime abord, faire penser qu’il ne s’agit que d’une rêverie d’artiste enthousiaste, ayant de fortes tendances pour les paro­les hyperboliques. Il était pourtant entièrement partagé par des mathémati­ciens aussi hautement spécialisés dans les mathématiques de la fractalité que sont, notamment, en France, Adrien Douady, et aux États-Unis, John Hubbard, les deux chercheurs travaillant d’ailleurs en étroite collaboration.

 

Dans la formule basique du polynôme complexe programmé itérative­ment (c’est-à-dire en boucle récursive), le nombre complexe c adjoint au nombre complexe z élevé au carré (z pouvant être un nombre réel sans autre partie imaginaire) est considéré alors comme la clé génétique du pro­gramme ! Les ensembles de Julia et de Mandelbrot sont indéfiniment restructurés dans leur « anatomie » fractale complexe, dynamique et multiscalaire. Le principe de variation numérique indéfiniment réitérée du para­mètre complexe c engendre une classification algorithmiquement démon­trée (donc expérimentale) des types de nombres complexes et de leurs pro­priétés géométriques. Par le moyen d’un tel programme variatif, les for­mes les plus complexes se révèlent successivement selon l’imprévisibilité temporelle de leurs composantes morphologiques. Il s’agit d’un véritable développement d’information génétique selon Adrien Douady, qui écrivit alors dans une revue scientifique :

 

« Pour chaque valeur de c, le processus itératif défini par l’opération très simple (z²+ c) → z finit par sculpter l’ensemble de Julia, par lui donner sa forme compliquée, structurée et variée, suivant les valeurs de c. Ce faisant, il développe l’information contenue dans la clé c un peu comme l’ontogenèse d’un être vivant (développement de l’individu) déve­loppe l’information contenue dans l’ADN des chromosomes de l’œuf. » (Adrien Douady, in Images des Mathématiques - Le Courrier du CNRS, Supplément au numéro 62, Paris, 1985, p. 29-30).

 

Le thème chromosomique ne saurait s’affirmer dans un esprit d’analo­gie plus suggestif, et il est vrai que le déroulement du programme « épuise » à l’infini (mais n’épuise jamais exhaustivement en fait) les potentialités mor­phologiques du « germe c ». En théorie scientifique de l’information, on dit que le système dynamique va d’un ordre moindre à un ordre supérieur qui se dessine peu à peu en perdant de l’entropie (absence d'ordre relative, du point de vue statistique). Dans le cas des images fractales, au départ de la mise en oeuvre du programme, le « désordre » ou l’incertitude a priori concernant l’émer­gence morphologique sont au maximum, l’entropie est donc très forte. Puis, au fur et à mesure que s’exécute le programme récursif, l’image se complexifie dans toute sa précision et sa subtilité chromatique, avec tous ses détails imbriqués à l’infini (potentiellement tout au moins). ­

 

L’entropie diminue, mais elle ne saurait devenir nulle, au contraire, puisque la restructuration ico­nique est permanente et sans fin ; cependant, la nouveauté est aussi par­tiellement (pixel après pixel) et progressivement émergente : elle conserve l’information en même temps qu’elle la modifie, l’enrichit, lui apporte d'infinies nuances.

 

La comparaison entre programme fractal et programme génétique était affirmée encore plus directement par le mathématicien John Hubbard. En effet, la simplicité des deux types de programmes est sans doute leur caractéristique com­mune majeure. Un programme itératif de Fractales s’écrit très brièvement en quelques lignes d’instructions, mais l’énormité quantitative des calculs en chaîne, afin de détailler à l’infini une belle image aux nuances chro­matiques enchanteresses, est de taille ! À partir d’un petit programme de calcul, mais des temps plus ou moins importants de calcul portant sur des échelles variées d’exploration, une quantité illimitée de formes émerge de cette matrice géné­tique idéale qu’est le programme. Car le programme représente bien une sorte d’idéalité formatrice et informatrice (au sens de la théorie scientifi­que de l’information).

 

Comparativement, un programme génétique, envisagé sur la base de la séquence finie des gènes chromosomiques de l’ADN, est également rela­tivement simple et court (environ 200 millions de bits significatifs) ; mais le « recopiage » et la recombinaison de ces informations biologiques élémentaires, plu­sieurs centaines de milliards de fois, au cours des générations suc­cessives, ont conduit à des variétés morphologiques extrêmes et en nom­bre inouï. Le semblable (mais non la stricte identité intersubstitua­ble !) est souvent la règle, bien que la différence absolue et irréductible soit, quant à elle, la loi universelle de la transformation morphogénéti­que. Même les jumeaux homozygotes possèdent des différences, psycho­logiques aussi bien qu’anatomiques. L’analogie à travers l’altérité fonda­mentale règle la vie.

 

John Hubbard voyait alors, dans la contrainte formelle d’un programme biologique relativement court, disproportionné par rapport aux  très nombreuses opérations de recombinaisons qu’il permet, se profiler une sorte de loi du semblable biologique ayant son équivalent dans la brièveté du programme informatique des Fractales. Il déclare en effet à ce propos  que « Les deux phénomènes ont en commun des programmes de taille beau­coup plus petite que la diversité de leurs réalisations » et qu’il « semble incroyable que la faible information contenue dans l’ADN soit suffisante pour déterminer les formes biologiques compliquées des êtres vivants », à l’instar des Fractales dont les dessins sont parfois spécifiés par des programmes de  quelques lignes seulement (John Hubbard, in Pour la Science, numéro 153, juillet 1990, p. 8).

 

Une Fractale devient, selon ce type de discours, un modèle rationnel autant qu’esthétique de la transmission du génome humain et ani­mal. L’idée est séduisante, et son pouvoir de séduction imaginaire vaut bien, sans doute, qu’elle nous masque les irréductibles hétérogénéités exis­tant entre le champ de la connaissance biologique et celui de la théorie mathématique. Quant aux résultats proprement esthétiques concernant les images fractales numériques, ils n’ont aucune commune mesure avec la biologie ou les mathématiques qui sont pour­tant, ici, fondatrices.

 

2. Esthétique du transitoire

 

Les Fractales visualisées après arrêt sur le processus dynamique dont elles résultent ne sont en fait que des sortes d’instantanés photographiques. Ce sont des coupes arbitraires, tandis que le codage informatique des points d’image n’a en théorie aucune fin ; il est virtuellement infini et en devenir permanent. C’est par conséquent la vidéographie qui en offre la meilleure présentation possible, compte tenu, évidemment, de l’inévitable limitation matérielle de la résolution de l’écran électronique, rendant impossible (à toute échelle) l’exploration exhaustive de tous les points numériques du plan (le mot  « tous » renvoyant, en fait, à l’idée d’une infinité mathématique potentielle).

 

Ces instantanés électroniques ne doivent cependant en rien cacher l’aspect irrémédiablement transitoire de l’image fractale. Celle-ci est faite, dès sa programmation, pour émerger et se transformer en permanence, dans un remodelage sculptural simultané de toutes les micro-zones du plan auquel elle appartient, tout en conservant l’information originaire créée depuis la mise en fonctionnement du programme.

 

La transition est inscrite au coeur même de l’image fractale, puisque celle-ci procède, précisément, d’une loi algébrique de transformation récur­sive des trajectoires de points. Or, images du chaos et de certains types d’attracteurs étranges (apériodiques), les Fractales symbolisent avant tout, dans leur usage artistique, une nouvelle esthétique du transitoire, du remo­delage continuel. Un programme de création de Fractales fonctionne comme un système dynamique ouvert dont la mémoire est formée de strates coexis­tantes mais progressivement recouvertes les unes par les autres, de telle sorte que la richesse de l’information visuelle, à l’intérieur du cadre d’une même échelle ou par passage d’une échelle à une autre, résulte autant des conditions initiales de la mémoire informatique que de sa transformation continue.

 

Le système dynamique fractaliseur (loi fonctionnelle algébri­que + instructions programmées + trajectoires et codage chromatique des points dans le plan complexe, à une échelle d’exploration donnée) joue à la manière d’un système physique qui oublie progressivement les con­ditions initiales ou les états primitifs qui lui ont donné naissance. C’est pourquoi, à toute échelle, il y a émergence et enrichissement de l’infor­mation.

 

Le transitoire apporte ici de l’information nouvelle en permanence. Un système fractal se comporte un peu à la manière d’un système physique turbulent ou chaotique, dans la mesure où deux conditions initiales très voisines peuvent provoquer des résultats extrêmement différents. Ainsi, deux « germes numériques » complexes c, dans la formule récursive de base, aussi peu différents numériquement que l’on voudra, seront susceptibles de développer (de « créer ») des informations morphologiques en couleurs extrêmement variables, imprévisibles et différentes. Les physiciens du chaos parlent à ce propos de la propriété de sensibilité aux conditions initiales (écriture abrégée : SCI).

 

Les Fractales signent, incontestablement, une esthétique mais aussi plus largement, une philosophie du transitoire caractéristique des méthodes d’approche intellectuelle des sciences physiques, mathématiques et humai­nes du dernier quart du vingtième siècle. À ce titre, elles sont non seulement un phénomène techno-artistique dépendant de la technologie de l’information et de la science des modèles dynamiques, mais également un phénomène culturel révélateur d’une époque en mutation continue.

 

  

© Jean-Claude Chirollet

 

 

 

 

 

 

1. Pixel

 

Le mot « pixel », abréviation de l’anglais « picture element », désigne l’élément de base de l’image numérique. Chaque pixel est adressable, c’est-à-dire possède un code de position spatiale indiquant exactement à quel endroit (ou « adresse ») il se trouve au sein de la matrice photo-électronique. Il est également porteur des informations chromatiques digitalisées qui le caractérisent, de façon précise, au moyen du langage binaire 0/1. Les images numérisées constituent, en langage informatique, des images de type « bitmap », car leurs points forment une carte ou matrice régulière. Plus les points sont fins, nombreux et resserrés, de grande densité, plus l’image numérisée offre à l’œil nu – à une certaine distance – l’aspect de la continuité visuelle et du modelé des teintes que l’on reconnaît ordinairement aux objets perçus ou aux images photographiques de haute résolution (émulsion à grain fin et tirage sur papier glacé).

 

Cependant, la question de la distance à laquelle l’image est observée est fondamentale, dans la mesure où le rapprochement de l’œil par rapport à cette image révèle des détails indétectables à plus grande distance. Autrement dit, si l’on utilise, par rapprochement excessif, une loupe de forte puissance pour observer des détails invisibles naturellement, ce que l’on croyait être des points fondus dans la masse chromatique de la surface se révèle comme une sorte de conglomérat granuleux de microdétails discontinus. Une loupe de plus forte puissance fera sortir de l’ombre d’autres détails discontinus. De façon analogue, examiné au compte-fils, un cliché négatif ou inversible révèle également les micro-détails de l’image, inobservables sans cet intermédiaire.

 

2. Définition

 

Le langage courant les amalgame parfois, mais les deux notions informatiques de définition et de résolution renvoient à des réalités très différentes l’une de l’autre, bien que techniquement indissociables au moment de la numérisation ou de l’impression d’une image. En effet, évoquer la définition d’une image numérisée, c’est évoquer un nombre brut : le nombre de « points informatiques » ou pixels qu’elle comporte sur une surface de dimensions données. Ainsi, dire qu’une photographie prise avec un appareil photographique numérique possède 4000 x 3000 pixels (soit 12 millions pixels en tout), n’indique autre chose que sa définition exacte correspondant aux photosites réellement utilisés du capteur électronique du photoscope, sans aucun rapport au support sur lequel elle sera imprimée ou visualisée.

 

De même, dire que le fichier numérique produit par le scan d’un tirage photographique de format 10 x 15 cm, possède une définition optique de 2000 x 3500 pixels (soit au total 7 millions de pixels), n’indique objectivement que le nombre strictement arithmétique de pixels distingués par l’outil de numérisation, au moment de l’échantillonnage numérique de l’image scannée. Mais cette information brute n’est absolument pas suffisante pour connaître le degré ou niveau de finesse de ces images, autrement dit le niveau relatif de détails qu’elles comportent réellement et que le système visuel pourra distinguer, éventuellement à l’aide d’une loupe de grossissement. Point, pixel, grain, détail, trame... Quel est le « détail ultime », s'il existe...?

 

3. Résolution

 

Deux critères entrent en ligne de compte : la résolution de la numérisation effectuée et le type de support qui accueille l’image : papier de qualité photographique ou bien écran vidéo d’ordinateur (notamment dans le cas d’un site Web consacré à l’art, et comportant des photographies numériques de tableaux, créations graphiques, sculptures ou architecture). La taille et le type du support d’image s’avèrent donc fondamentaux pour comprendre la signification de la définition fournie par un système de numérisation, photoscope ou scanner. Mais cet aspect dimensionnel est lui-même réciproquement en relation avec la résolution adoptée pour numériser. La résolution est en effet une donnée numérique indiquant avec précision le degré de finesse de l’image, les détails objectivement discernables en fonction d’un support de taille optimale.

 

En imagerie numérique, la résolution se définit mathématiquement comme le nombre de pixels ou « points » d’image par unité de longueur de référence, généralement le pouce. Elle s’exprime donc en points par pouce (ppp ou dpi selon l’abréviation anglo-saxonne usuelle signifiant « dots per inch »), le pouce valant 25,4 mm. On pourrait tout aussi bien choisir le centimètre comme unité de référence, ce que proposent d’ailleurs les logiciels de photographie numérique parmi leurs options de numérisation. Mais l’usage infographique conduit à adopter l’abréviation et la référence en « dpi » de manière quasi universelle.

 

En photographie traditionnelle « argentique » (dont les supports sont des émulsions chimiques), on parle du « pouvoir résolvant » d’un film photographique ; il s’agit de la capacité que détient le film à séparer les plus fins détails, détectables au moyen d’une mire de fort contraste et observés à fort grossissement au microscope. Le pouvoir résolvant se mesure en nombre de traits parallèles par millimètre que l’émulsion a la faculté de discerner, soit environ 100 à 400 lignes par millimètre pour les films ordinaires, en fonction de la sensibilité plus ou moins élevée du film.

 

4. Zoom digital 

 

Grossissement – dit aussi « effet de loupe » –, à une échelle d’agrandissement donnée, d’une image ou d’une portion d’image. Le zoom photographique par variation de focale est simplement homothétique, tandis que le zoom numérique (logiciel) effectué sur une partie d’image fractale semi-aléatoire nécessite de recalculer intégralement cette portion iconique en révélant des détails morphologiques toujours nouveaux et insoupçonnés, en vertu de la loi d'autosimilarité statistique. Il n’est pas homothétique mais agit par autosimilarité semi-déterministe, c’est-à-dire que les détails nouveaux qui émergent du processus de calcul itératif à une échelle donnée, ne sont pas strictement identiques à l’image d’ensemble dont ils sont « extraits ». Les figures géométriques complexes formées par les images fractales, mêlent inextricablement le continu apparent (des quasi-lignes et des quasi-surfaces) et le discontinu (des simili-points, plus ou moins petits et denses).

 

Les zooms numériques effectuables virtuellement en série ad infinitum ou, selon les zones du plan complexe, seulement un grand nombre mais limité de fois, sur de minuscules zones détaillées d'ensembles fractals autosimilaires, comme les innombrables ensembles de Julia et l'ensemble de Mandelbrot, sont le moteur opératoire de la renormalisation stochastique des formes fractales dans le plan complexe. La « loupe fractale » est un puissant moyen de « voir l'infini », selon l'expression métaphorique de James Gleick : « De manière imagée, une fractale est un moyen de voir l'infini. » (James Gleick, La théorie du chaos, éd. Albin Michel, Paris,  1987-1989, p. 132). Il s'agit là de l'évocation, en filigrane, de la thématique de « l'hologramme fractal » à l'infini. – Cf. lien ci-après : Vidéo sonore d'un zoom fractal ad infinitum : [→ Hologramme fractal].

 

Contrairement au zoom digital obtenu par itération logicielle, un zoom de type photographique agrandit une partie d’image, mais tout en lui conservant exactement sa forme d’origine. Un zoom photographique permet certes d’entrer jusque dans le grain du film, dans sa structure moléculaire, mais l’information utile au sens strict, concernant la morphologie signifiante de l’image en elle-même, n’augmente pas par agrandissement ad libitum, contrairement à l’information apportée par l’examen multiscalaire d’une image fractale semi-déterministe, statistiquement autosimilaire. Dans ce dernier cas, il existe une ressemblance morphologique générale entre l’ensemble et ses parties, mais chaque partie est en réalité différente de chaque autre partie, éventuellement de manière seulement infinitésimale, à un « iota près ». Le micro-détail fait parfois toute la différence morphologique...

 

 

© Jean-Claude Chirollet

 

 

 

 

 

1. Modèle cartographique et échelles descriptives

 

Pratiquement toutes les sortes de formes naturelles peuvent être considérées comme infiniment irrégulières et discontinues, en fonction des multiples échelles d'examen auxquelles on les soumet. Les exemples d'objets fractals puisés dans l'environnement naturel sont quasi omniprésents, et les sciences physiques et bilogiques découvrent qu'ils sont en extension continuelle. Ainsi, la structure métamorphique des nuages, les reliefs montagnards, le mappage omnidirectionnel d'un ciel étoilé, l'univers insondable des galaxies, tout comme une simple feuille de châtaignier, un morceau de rocher, un fragment de métal ou une cellule biologique, humaine, animale ou végétale, sont porteurs d'innombrables zones d'irrégularité morphologique en fonction des niveaux d'observation auxquels on les décrit. Le mérite scientifique (et poétique) de la géométrie fractale, c'est précisément d'avoir donné de puissants instruments mathématiques pour caractériser ces degrés ou niveaux d'irrégularité relative, qui signent l'hétérogénéité morphostructurale de la matière et de l'Univers tout entier.

 

Ce sont les échelles d'examen de l'objet, naturel ou purement géométrique, qui définissent les degrés variables de discontinuité morphologique, et l'intrication du continu et du discontinu au sein des formes de la nature. Le thème, bien connu en physique théorique, de l'interrelation opératoire de l'observateur avec l'objet observé, s'affirme en ce domaine mathématique comme le motif primordial de la détermination de la dimension fractale. Les objets de la nature, observés à grande distance – la notion de distance est elle-même relative à la taille de l'objert observé –, peuvent apparaître globalement comme des formes simples, bien régulières et continues, descriptibles au
moyen des catégories de la traditionnelle géométrie euclidienne : des cercles, des triangles, des parallélépipèdes, des sphères, des cônes, des cylindres, des polyèdres, et toute combinaison de ces formes élémentaires primitives dont la pensée grecque antique avait alimenté ses spéculations, aussi bien mathématiques que métaphysiques.

 

Pourtant, observées de plus près, éventuellement au moyen de loupes et de microscopes, ces formes naturelles apparaissent beaucoup plus compliquées, moins linéaires, en un mot : moins « euclidiennes ». Elles présentent des contours brisés et des structures surfaciques ramifiées, enchevêtrées. Si le niveau d'observation, toujours plus exigeant, continue de s'affiner par l'intermédiaire de la loupe et du microscope, le moindre détail peut alors apparaître comme lui-même constitué d'une myriade de détails plus fins et toujours plus riches de microformes, elles-mêmes saturées à l'infini de microformes gigognes hyperdétaillées aux apparences nouvelles et imprévisibles. 

 

Le corollaire de l'affinement de l'échelle d'observation réside dans le fait qu'aucune symétrie euclidienne connue n'est détectable en chaque fragment étudié. Les multiples niveaux mésoscopiques de la description, virtuellement infinis, ne semblent plus pouvoir être mis en corrélation hiérarchique continue, de même que les lois de la symétrie qui caractérisent généralement un objet dans sa totalité ne semblent plus pouvoir se révéler à travers les parcellisations de l'ensemble primitif. Il en résulte que tout fragment se manifeste comme une nouvelle totalité, étrangère morphographiquement, en apparence, à l'ensemble dont il est extrait comme un « détail » insituable. La loi d'unité et de concordance morphologique entre le tout et ses parties (la symétrie au sens étymologique grec) devient alors caduque, par l'application systématique, en chaîne, du jeu des variations d'échelles d'examen.

 

2. Cartographie multiscalaire d'un littoral

 

Un modèle typique de raisonnement fractaliste, exposé par Benoît Mandelbrot dès 1967, est celui relatif à la mesure cartographique d'un littoral. La quantité et la précision descriptive des détails côtiers d'un littoral, tel que celui de la côte de Bretagne, sont fonction de l'échelle numérique de représentation adoptée par le cartographe. Ainsi, imaginons que l'on se propose de mesurer la longueur de la côte entre deux points géographiques donnés, au moyen d'un compas (fictif) d'écartement variable. Plus l'écartement sera important, plus la longueur obtenue sera de médiocre précision, et la carte qui correspondra à cette mesure sera très schématique, donc plus ou moins déformante. Il s'agit là de la technique dite de « généralisation » cartographique. Inversement, de très petits écartements produiront une mesure plus véridique, correspondant à une carte elle aussi nettement plus élaborée quant à ses détails. Mais la longueur obtenue par ce moyen toujours plus exigeant (des écartements de compas de plus en plus faibles), tendra vers une grandeur infinie, car il s'agira dans cette éventualité de prendre en compte les moindres anfractuosités du rivage, des rochers en particulier. [→ Image ci-dessus : Littoral dentelé de la côte bretonne, figuré selon une petite échelle de grandeur. La limite entre terre et mer est fluctuante, difficilement traçable car extrêmement irrégulière.] 

 

C'est le principe même du zoom numérique, opéré en cascade sur les structures fractales autosimilaires  (hyperfractals), obtenues par l'application d'algorithmes récursifs (renormalisation géométrique). L'aspect morphologique infiniment sinueux et granuleux de la moindre parcelle microscopique de matière pourrait, en théorie, être apprécié par des instruments d'observation métrologique ultraprécis, détectant des longueurs microscopiques de l'ordre d'une fraction d'angström par exemple (l’angström vaut un dix-millionième de millimètre), et la longueur du littoral s'accroîtrait alors indéfiniment. Mais la carte

physiquement réalisable ne pourrait plus réellement prendre en compte cette extrême profusion de détails. D'ailleurs, les conventions cartographiques habituelles limitent la représentabilité du territoire, bien avant d'atteindre cette luxuriance morphographique fictive à l'échelle de l'angström ! [→ Image ci-contre : Vue générale de la frontière de l'ensemble autosimilaire de Mandelbrot, infiniment dentelée et irrégulière, comparable à la pseudo-limite fluctuante de la côte bretonne.]

 

La longueur de la côte tendant vers l’infini en raison de son extrême irrégularité physique, et en fonction de l’échelle d’examen de plus en plus fine (résolution métrologique), sa dimension fractale D n’est pas égale à la dimension topologique entière d’une ligne continue (idéale) de la géométrie euclidienne (D = 1), mais à une dimension non-entière, fractionnaire, comprise entre D = 1 (la ligne idéalement continue) et D = 2 (une surface plane), assez proche cependant de la dimension topologique d’une ligne continue (D = environ 1,16 à 1,2 en fonction de la précision des instruments de mesure théoriques utilisés). [Cf. Benoît Mandelbrot, Les Objets fractals – Forme, hasard et dimension, Chapitre II (Combien mesure donc la côte de Bretagne ?), 4^è éd. revue, Paris, Flammarion, 1995.]

 

Cet exemple de représentation cartographique d'un littoral, qui conduit jusqu'aux confins de la pure imagination, est révélateur de l'importance primordiale de l'échelle d'observation des phénomènes. Il fait comprendre la spécificité de la notion d'objet fractal : un objet fractal est en fait un objet mathématique, même si au départ la réflexion porte sur des objets réels (naturels ou artificiels), car la dimension abstraite (ou indice) fractionnaire qui le caractérise est le résultat objectif d'un raisonnement algébrique, qui met en jeu l'itération ad infinitum d'un calcul de grandeurs, référées à une succession d'échelles métrologiques : depuis les rapports d’échelle de réduction [1 : X], jusqu'aux rapports d’échelle d’agrandissement [X : 1], avec X > 1, en passant par l'échelle grandeur nature [1 : 1] (avec X = 1).

 

Or, toute cartographie demeure indéfiniment approchée, puisqu'elle est liée à l'adoption concomitante d'un système formel codifié, et d'une échelle relative de représentation, dont la résolution est spécifiquement adaptée au système. Les conventions cartographiques de la représentation d'un pays entier au ratio [1 : 1 000 000] ne sont pas celles relatives à la représentation d'un plan de ville ou de quartier au ratio [1 : 10 000]. De même, les méthodes photomicrographiques appliquées à un fragment de cellule humaine ou végétale, qui multiplient la taille réelle de l'objet, invisible à l'œil nu, par un coefficient d'agrandissement de l'ordre de 50 000 fois à 250 000 fois, apportent leurs règles technologiques spécifiques de représentation.

 

3. Relativité d'échelle et résolution métrologique

 

Le réel appréhendé sélectivement en fonction d'une certaine échelle de grandeur, c’est-à-dire selon un niveau particulier de révélation des détails, entraîne de facto le renoncement (tout au moins provisoire) à percevoir ce qui existe à une échelle supérieure ou inférieure. Ainsi, la prise de distance excessive, par l’utilisation instrumentée d’une très petite échelle de représentation cartographique (très généralisante), exclut la saisie des détails significatifs d’un phénomène, au profit exclusif de la compréhension d’ensemble. Inversement, si l’attention est immergée dans la complexité des plus infimes détails et particularités, par l’intermédiaire d’une échelle d’observation hyperfine, elle devient alors incapable de saisir l’ensemble d’où ils sont extraits. Il en découle donc logiquement que l’impuissance d’une échelle d’examen, trop fine ou bien, inversement, trop extensive, relativement à un niveau de description ou d’explication du réel, peut constituer, en sens inverse, sa force et sa pertinence à l’égard d’un niveau descriptif ou explicatif différent.

 

Il n’existe pas, en réalité, d’échelle absolue ou exhaustive d’examen ou de vision, mais seulement et irrémédiablement des échelles sélectives, mieux adaptées que d’autres, définies d'une part en fonction d’une intention du regard instrumenté, et d'autre part de la volonté de comprendre ou de décrire certains aspects particuliers des choses qui nous entourent, au moyen de représentations ad hoc : figures géométriques, graphiques et schémas, plans et cartographies, descriptions, concepts (en sciences et philosophie). Prétendre définir une échelle d’observation soi-disant « absolue » pour décrire un phénomène, n’aurait aucun sens : seuls les rapports comparatifs entre échelles différentes possèdent une signification afin de décrire les phénomènes de la nature, tout autant que les artefacts humains. Des réalités insoupçonnées à une certaine échelle de représentation, se révèlent de manière significative à une échelle supérieure de résolution numérique, mieux adaptée au niveau de réalité dont le cartographe veut donner l’image. De même, dans le domaine de la géométrie fractale, les rapports d’échelles sont directement associés aux résolutions spatiales comparées, utilisées pour la description des formes physiques ou mathématiques.

 

En premier lieu, ce qu'enseignent ces méthodes variées de représentation multiscalaire, c'est la nature intrinsèquement mésoscopique de toute image du réel : le « microscopique », quel que soit son niveau d'appréhension, n'est toujours qu'un intermédiaire, un relais entre des mondes infiniment plus petits que lui, et des mondes infiniment plus grands. Il en est de même pour le « macroscopique », dont les dimensions appréhensibles sont infiniment grandes pour les niveaux très inférieurs à lui, mais qui se réduit à un niveau en quelque sorte microscopique, en référence à des niveaux scalaires très supérieurs au sein de l'immensité de l'Univers.

 

En second lieu, on peut affirmer logiquement que les conventions graphiques et géométriques sous-tendant les représentations cartographiques, constituent un système formel susceptible de décrire non seulement toute la réalité géographique visible, à une échelle adaptable aux formats de la représentation globale sur le papier (territoires entiers), mais aussi à toute échelle théorique fixée arbitrairement, aussi grande soit-elle (plans détaillés, détails matériels, etc.). L'échelle et les modes de représentation, certes, devront changer à chaque étape : des représentations macroscopiques jusqu'aux représentations microscopiques du réel, mais en théorie le principe d’agrandissement ou de réduction scalaire peut s'appliquer en cascade ad libitum, par le jeu opératoire des échelles mésoscopiques successives. 

 

 

→ Les 4 photographies de paysages ci-dessus : 4 vues de détail de la Pointe-du-Raz (côte de Bretagne), correspondant à différentes échelles de représentation. Passer d'une représentation cartographique, quelle qu'en soit l'échelle, au territoire concret, c'est entrer dans une infinité de détails matériels gigognes, invisibles aux échelles de représentation cartographique habituelles, à la manière des détails d'une image fractale autosimilaire. Cependant, en pratique, une carte géographique doit s'arrêter aux formes paysagesques macroscopiques, dont la représentation est utile pour le repérage in situ.

 

[Cf. aussi l'article → Théâtre et Chaos fractal / "Arcadia" de Tom Stoppard (1993) Partie II]

 

   

 

© Jean-Claude Chirollet